점근적 평탄 다양체

틀:위키데이터 속성 추적 리만 기하학과 일반 상대성 이론에서 점근적 평탄 다양체(漸近的平坦多樣體, 틀:Llang)는 어떤 콤팩트 집합("중심")을 제외하면, 유클리드 공간에 점근적으로 근접하는 리만 계량을 갖는 조각들("끝")로 구성된 리만 다양체이다.

정의

$n$차원 리만 다양체 $(M,g)$가 주어졌다고 하고, 또 어떤 양의 실수 $\alpha \in {ℝ}^{+}$가 주어졌다고 하자. $M$의 점근적 평탄 끝(틀:Llang) $(\mathrm{\Sigma },{\iota }_{\mathrm{\Sigma }})$는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $M$의 $n$차원 부분 다양체 $\mathrm{\Sigma }\subseteq M$
• 미분 동형 사상 ${\iota }_{\mathrm{\Sigma }}:\{x\in {ℝ}^n:\Vert x\Vert >1\}\to \mathrm{\Sigma }$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

$\frac{{\partial }^l}{\partial x^{i_1}\partial x^{i_2}\cdots \partial x^{i_l}}({\iota }_{\mathrm{\Sigma }}^{*}g(\frac{\partial }{\partial x_i},\frac{\partial }{\partial x_j})-{\delta }_{ij})\in O(r^{-\alpha -l})\mathrm{\forall }l\in \{0,1,2\},\mathrm{\forall }{i}_1,i_2,\dots ,i_l,i,j\in \{1,\dots ,n\}$

여기서

$r=\sqrt{\sum _{i=1}^n(x^i{)}^2}$

이다. 위 조건을 지표 표기법으로 줄여 쓰면 다음과 같다.

${\partial }_{i_1}\cdots {\partial }_{i_l}(g_{ij}-{\delta }_{ij})\in O(r^{-\alpha -l})\mathrm{\forall }l\in \{0,1,2\},\mathrm{\forall }{i}_1,i_2,\dots ,i_l,i,j\in \{1,\dots ,n\}$

$n$차원 리만 다양체 $(M,g)$와 그 유한 개의 점근적 평탄 끝 $({\iota }_1,{\mathrm{\Sigma }}_a{)}_{a=1,\dots ,m}$이 주어졌으며, 만약

$M\setminus ({\mathrm{\Sigma }}_1\cup {\mathrm{\Sigma }}_2\cup \cdots {\mathrm{\Sigma }}_m)$

이 콤팩트 공간이라면, $M$을 점근적 평탄 다양체(틀:Llang)라고 한다. 이 경우, 위의 $m$의 최솟값을 $M$의 끝의 수(틀:Llang)라고 한다.

로런츠 다양체의 경우

위 조건은 리만 다양체를 마치 공간처럼 여겨 정의한 개념이다. 마찬가지로, 로런츠 다양체를 시공간으로 여겨 비슷한 조건을 정의할 수 있다.

$n+1$ 로런츠 다양체 $(ℳ,g)$가 주어졌다고 하고, 또 어떤 양의 실수 $\alpha \in {ℝ}^{+}$가 주어졌다고 하자.

$ℳ$의 점근적 평탄 끝(틀:Llang) $(\mathrm{\Sigma },{\iota }_{\mathrm{\Sigma }})$는 다음과 같은 데이터로 주어진다.틀:Rp

• $ℳ$의 $n$차원 공간형 부분 다양체 $\mathrm{\Sigma }\subseteq M$ (즉, $g\upharpoonright \mathrm{\Sigma }$는 리만 계량을 이룬다)
• 미분 동형 사상 ${\iota }_{\mathrm{\Sigma }}:\{x\in {ℝ}^n:\Vert x\Vert >1\}\to \mathrm{\Sigma }$

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

${\partial }_{i_1}\cdots {\partial }_{i_l}(g_{ij}-{\delta }_{ij})\in O(r^{-\alpha -l})\mathrm{\forall }l\in \{0,1,2\},\mathrm{\forall }{i}_1,i_2,\dots ,i_l,i,j\in \{1,\dots ,n\}$

${\partial }_{i_1}\cdots {\partial }_{i_l}({\mathrm{II}}_{ij}-{\delta }_{ij})\in O(r^{-\alpha -l})\mathrm{\forall }l\in \{0,1,2\},\mathrm{\forall }{i}_1,i_2,\dots ,i_l,i,j\in \{1,\dots ,n\}$

여기서

$r=\sqrt{\sum _{i=1}^n(x^i{)}^2}$

이며, ${\mathrm{II}}_{ij}$는 $\mathrm{\Sigma }$의 제2 기본 형식이다. (이는 ${\mathrm{T}}^{*}\mathrm{\Sigma }\otimes {\mathrm{T}}^{*}\mathrm{\Sigma }\otimes {\mathrm{N}}_{ℳ/\mathrm{\Sigma }}$의 단면인데, 법다발 ${\mathrm{N}}_{ℳ/\mathrm{\Sigma }}$은 $ℳ$의 로런츠 계량 $g$로 인하여 표준적으로 단위 벡터 단면을 잡을 수 있다.)

진공 아인슈타인 방정식의 해의 경우, $n\ge 3$이라면 항상 $\alpha =n-2$로 잡을 수 있다.틀:Rp

예

콤팩트 리만 다양체는 자명하게 0개의 끝을 갖는 점근적 평탄 다양체이다. 유클리드 공간은 자명하게 하나의 끝을 갖는 점근적 평탄 다양체이다.

원점을 제외한 유클리드 공간 ${ℝ}^n\setminus \{0\}$ 위에 다음과 같은 리만 계량을 주자.

$\mathrm{d}{s}^2=r^{-2}\mathrm{d}{r}^2+(\ln (r+1/r){)}^2\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^2$

좌표 변환

$r=\exp t$

를 가하면 이는

$\mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{t}^2+(\ln (2\cosh (t){)}^2\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^2$

가 되므로, 이는 $t\to \pm \mathrm{\infty }$에서

$\mathrm{d}{s}^2\approx \mathrm{d}{t}^2+|t{|}^2\mathrm{d}{\mathrm{\Omega }}^2$

이다. 따라서, 이는 두 개의 끝을 갖는 점근적 평탄 다양체이다.

4차원 이상의 시공간에서, 슈바르츠실트 계량은 (질량 중심 틀에서 $t=0$ 조각을 생각한다면) 점근적 평탄 다양체를 이룬다.

같이 보기

• 아인슈타인 방정식