2차원 𝒩=4 초등각 장론

틀:위키데이터 속성 추적 양자장론에서, 2차원 $𝒩=4$ 초등각 장론(二次元$𝒩=4$超等角場論, 틀:Llang)은 네 개의 초대칭을 가지는 2차원 등각 장론이다.

정의

2차원 $𝒩=4$ 초등각 대수의 생성원은 다음과 같다.

기호	이름	무게 $h$	SU(2) R대칭 표현	페르미온 수 $F$
$T(z)$	에너지-운동량 텐서	2	1	0
$G^a(z)$	초전류	3/2	$\mathrm{𝟐}$	+1
${\overline{G}}^{\overline{a}}(z)$	초전류	3/2	$\overline{\mathrm{𝟐}}$	−1
$J^i(z)$	R대칭 보존류	1	$\mathrm{𝟑}=𝔰𝔲(2)$	0
$k$	중심 원소	0	1	0

위 표에서 $G^a$를 제외한 다른 생성원들은 모두 에르미트 장이며, $G^a$의 에르미트 수반은 ${\overline{G}}^{\overline{a}}$이다.

중심 원소 $k=0,1,2,3,\dots$는 SU(2) 아핀 리 대수의 준위와 같다. 비라소로 중심 전하 $c$는 다음과 같다.

$c=6k=0,6,12,18,\dots$

이들의 연산자 곱 전개는 다음과 같다. 여기서 $\cdots$는 $z\to 0$에서 비특이항을 나타낸다.

$T(z)T(0)=3k{z}^{-4}+2z^{-2}T(0)+z^{-1}\partial T(0)+\cdots$

$T(z)G(0)=\frac{3}{2}{z}^{-2}G(0)+z^{-1}\partial G(0)+\cdots$

$T(z)J(0)=z^{-2}J(0)+z^{-1}\partial J(0)+\cdots$

$J^i(z)J^j(0)=\frac{1}{2}k{z}^{-2}{\delta }^{ij}+i{z}^{-1}{ϵ}^{ijk}{J}^k+\cdots$

$J^i(z)G^a(0)=-\frac{1}{2}{\sigma }_{ab}^i{z}^{-1}{G}^b(0)+\cdots$

$G^a(z){\overline{G}}^{\overline{b}}(0)=4k{\delta }^{ab}{z}^{-3}-4{\sigma }_{a\overline{b}}^i{z}^{-2}{J}^i(0)+z^{-1}(2{\delta }^{ab}T(z)-2{\sigma }_{a\overline{b}}^i\partial J^i(0))+\cdots$

이들은 다음과 같은 모드 전개를 갖는다.

$T(z)=\sum _n{z}^{n-2}{L}_{-n}$

$G(z)=\sum _{r\in \mathbb{Z}+\eta }{z}^{r-3/2}{G}_{-r}$

$J^i(z)=\sum _n{z}^{n-1}{J}_{-n}^i$

여기서 NS 경계 조건의 경우 $\eta =0$이며 R 경계 조건의 경우 $\eta =1/2$이다.

그렇다면 모드 전개의 리 괄호는 다음과 같다.

$[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac{1}{2}k(m^3-m){\delta }_{m+n,0}$

$[L_m,G_r^a]=(m/2-r)G_{m+r}^a$

$[L_m,J_n^i]=-n{J}_{m+n}^i$

$[J_m^i,J_n^j]=i{ϵ}^{ijk}{J}_{m+n}^k+\frac{1}{2}mk{\delta }^{ij}{\delta }_{m+n,0}$

$[J_m^i,G_r^a]=-\frac{1}{2}{\sigma }_{ab}^i{G}_{m+r}^b$

$\{G_r^a,G_s^b\}=0$

$\{G_r^a,{\overline{G}}_s^{\overline{b}}\}=2{\delta }^{a\overline{b}}{L}_{r+s}-2(r-s){\sigma }_{a\overline{b}}^i{J}_{r+s}^i+\frac{1}{2}k(4r^2-1){\delta }_{r+s,0}$

대역적 대수

NS 대수에서, $L_{\pm 1}$, $L_0$, $G_{\pm 1/2}^a$, ${\overline{G}}_{\pm 1/2}^{\overline{a}}$, $J_0^i$는 다음과 같이 부분 리 초대수를 이룬다. 이는 대역적으로 정의되는 초등각 변환들의 리 초대수이다.

$[L_1,L_{-1}]=2L_0$

$[L_{\pm 1},L_0]=\pm L_0$

$[G_{\pm 12}^a,L_0]=\pm \frac{1}{2}{G}_{\pm 12}^a$

$[L_1,G_{1/2}^a]=[L_{-1},G_{-1/2}^a]=0$

$[L_{\pm 1},G_{\mp 1/2}^a]=\pm G_{\pm 1/2}^a$

$[J_0^i,L_0]=[J_0^i,L_{\pm 1}]=0$

$[J_0^i,J_0^j]=i{ϵ}^{ijk}{J}_0^k$

$\{G_{\pm 1/2}^a,G_{\pm 1/2}^b\}=\{G_{\pm 1/2}^a,G_{\mp 1/2}^b\}=0$

$\{G_{\pm 1/2}^a,{\overline{G}}_{\pm 1/2}^b\}=2{\delta }^{a\overline{b}}{L}_{\pm 1}$

$\{G_{\pm 1/2}^a,{\overline{G}}_{\mp 1/2}^b\}=2{\delta }^{a\overline{b}}{L}_0\mp {\sigma }_{a\overline{b}}^i{J}_0^i$

$[J_0^i,G_{\pm 1/2}^a]=-\frac{1}{2}{\sigma }_{ab}^i{G}_{\pm 1/2}^b$

마찬가지로, R 대수에서, $L_0$, $G_0^a$, ${\overline{G}}_0^{\overline{a}}$, $J_0^i$, $k$는 다음과 같이 부분 리 초대수를 이룬다.

$[L_0,L_0]=[G_0^a,L_0]=[{\overline{G}}_0^{\overline{a}},L_0]=0$

$[J_0^i,L_0]=[J_0^i,L_{\pm 1}]=0$

$[J_0^i,J_0^j]=i{ϵ}^{ijk}{J}_0^k$

$\{G_0^a,G_0^b\}=0$

$\{G_0^a,{\overline{G}}_0^b\}=2{\delta }^{a\overline{b}}{L}_0-\frac{1}{2}k$

$[J_0^i,G_0^a]=-\frac{1}{2}{\sigma }_{ab}^i{G}_0^b$

표현

2차원 $𝒩=4$ 초등각 대수의 유니터리 표현은 초1차장의 등각 무게 $h$ 및 SU(2) 아이소스핀 $l=0,1/2,1,\dots$에 따라 분류된다. 이는 유질량 표현(틀:Llang)과 무질량 표현(틀:Llang)으로 나뉜다.

	NS 경계 조건	R 경계 조건
무질량 표현	$h=k/4$, $0\le l\le k/2$	$h=l$, $0\le l\le k/2$
유질량 표현	$h>k/4$, $0\le l\le k/2-1/2$	$h>l$, $1/2\le l\le k/2$

유니터리 이론의 경우, 힐베르트 공간의 모든 상태는 다음 BPS 부등식을 만족시킨다.

$h\ge k/4(\text{NS})$

$h\ge |l|(\text{R})$

무질량 표현은 이 BPS 부등식을 포화시킨다. 유질량 표현은 위튼 지표가 0이지만, 무질량 표현은 위튼 지표가 0이 아니다. 유질량 표현에서 BPS 부등식을 포화시키는 극한을 취하면 이는 무질량 표현으로 분해된다.

분배 함수

$𝒩=4$ 초등각 장론에서는 $𝒩=2$인 경우와 달리 $(-1{)}^F\ne (-1{)}^{J_0}$이며, 따라서 분배 함수에는 아이소스핀 (SU(2) R대칭의 카르탕 부분군 U(1)에 대한 전하) $q$에 대한 퓨가시티 $z$와 페르미온 수 $F$에 대한 퓨가시티 $y$를 다음과 같이 독립적으로 삽입할 수 있다.

$Z(q,z,y)=\sum _{(h,q,F)}{q}^{h-k/4}{z}^q{y}^F$

이 합은 NS 경계 조건 또는 R 경계 조건에서 취할 수 있다.

예

초켈러 다양체 위의 2차원 시그마 모형은 $𝒩=(4,4)$ 초등각 장론을 이룬다. 이 경우, $4k$ 실수 차원의 초켈러 다양체는 SU(2) 아핀 리 대수 준위가 $k$인 초등각 장론을 이룬다. K3 곡면 위의 시그마 모형이 대표적인 예이며, 이 경우 $k=1$이다.

응용

$𝒩=4$ 초등각 장론에 위상 뒤틂을 가하여 $𝒩=4$ 위상 끈 이론을 정의할 수 있다.

참고 자료

• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용틀:깨진 링크

같이 보기

• 2차원 등각 장론
• 2차원 𝒩=1 초등각 장론
• 2차원 𝒩=2 초등각 장론