하이네-칸토어 정리

틀:위키데이터 속성 추적 해석학에서 하이네-칸토어 정리(Heine-Cantor定理, 틀:Llang)는 두 균등 공간 사이의 함수에 대하여, 만약 정의역이 콤팩트 공간이라면 연속 함수의 개념과 균등 연속 함수의 개념이 일치한다는 정리다.

정의

콤팩트 균등 공간 $(X, ℰ_{X})$ 와 균등 공간 $(Y, ℰ_{Y})$ 사이의 함수 $f : X \to Y$ 가 주어졌다고 하자. 하이네-칸토어 정리에 따르면, $f$ 가 연속 함수인 것과 균등 연속 함수인 것은 동치이다.^[1]틀:Rp

증명:

모든 균등 연속 함수는 자명하게 연속 함수이다. 반대로, 연속 함수 $f : X \to Y$ 및 임의의 측근 $ϵ \in ℰ_{Y}$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면

\forall x, y \in X : x \approx_{δ} y ⟹ f (x) \approx_{ϵ} f (y)

가 성립하는 측근 $δ \in ℰ_{X}$ 를 찾으면 족하다.

우선,

\forall x, y, z \in Y : x \approx_{\hat{ϵ}} y \approx_{\hat{ϵ}} z ⟹ x \approx_{ϵ} z

인 대칭 측근 $\hat{ϵ} \in ℰ_{Y}$ 를 찾자.

$f$ 가 연속 함수이므로, 임의의 $x \in X$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 측근 $δ_{x} \in ℰ_{X}$ 들이 존재한다.

\forall x, y \in X : x \approx_{δ_{x}} y ⟹ f (x) \approx_{\hat{ϵ}} f (y)

이제

\forall x, y, z, w \in X : y \approx_{{\hat{δ}}_{x}} z \approx_{{\hat{δ}}_{x}} w ⟹ y \approx_{δ_{x}} w

인 측근 ${\hat{δ}}_{x} \in ℰ_{X}$ 들을 고르자. 이제,

{{y \in X : x \approx_{{\hat{δ}}_{x}} y} : x \in X}

는 $X$ 의 열린 덮개이므로, 콤팩트성에 의하여 유한 부분 덮개

{{y \in X : x \approx_{{\hat{δ}}_{\tilde{x}}} y} : \tilde{x} \in \tilde{X}}

\tilde{X} \subseteq X

| \tilde{X} | < ℵ_{0}

가 존재한다. 이제,

\forall y, z \in X : y \approx_{δ} z ⟹ \forall \tilde{x} \in \tilde{X} : y \approx_{δ_{\tilde{x}}} z

인 측근 $δ \in ℰ_{X}$ 를 고르자.

이제, 임의의 $x, y \in X$ 에 대하여 $x \approx_{δ} y$ 이라고 하자. 그렇다면,

\tilde{x} \approx_{{\hat{δ}}_{\tilde{x}}} x \approx_{δ} y

인 $\tilde{x} \in \tilde{X}$ 가 존재한다. 따라서

\tilde{x} \approx_{{\hat{δ}}_{\tilde{x}}} x \approx_{{\hat{δ}}_{\tilde{x}}} y

이므로

\tilde{x} \approx_{δ_{\tilde{x}}} x

\tilde{x} \approx_{δ_{\tilde{x}}} y

이며, 따라서

f (x) \approx_{\hat{ϵ}} f (\tilde{x}) \approx_{\hat{ϵ}} f (y)

이며, 따라서

f (x) \approx_{ϵ} f (y)

이다.

균등 공간에 대하여, 콤팩트 공간인 것은 완전 유계 공간이자 완비 균등 공간인 것과 동치이다 (하이네-보렐 정리). 만약 정의역이 완전 유계 공간이 아니거나 완비 균등 공간이 아니라면 하이네-칸토어 정리는 일반적으로 성립하지 않는다.

탄젠트 함수 $\tan : (- π / 2, π / 2) \to ℝ$ 는 정의역이 완전 유계 공간이며 연속 함수이지만 균등 연속 함수가 아니다.
지수 함수 $\exp : ℝ \to ℝ$ 는 정의역이 완비 거리 공간이며 연속 함수이지만 균등 연속 함수가 아니다.

게오르크 칸토어의 집합론 및 실수의 구성을 바탕으로, 독일의 수학자 에두아르트 하이네가 정의역이 폐구간이고 공역이 실직선인 경우의 하이네-칸토어 정리를 1872년에 증명하였다.^[2]틀:Rp 이 논문에서 하이네는 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2