하우스홀더 변환

틀:위키데이터 속성 추적 하우스홀더 변환(Householder reflection,Householder transformation)은 소행렬식의 재귀적인 절차의 반복 수렴으로 하우스홀더 리플렉터(Householder reflector)를 구성한다.

QR 분해에서 하우스홀더 리플렉터를 이용하여 한 열씩을 상삼각행렬로 접근해 바꾸어감으로써 $Q$와 $R$을 구할 수 있는데,

이 방법은 $Q$행렬을 하우스홀더 행렬의 곱으로 구해주기 때문에, 직접 $Q$를 구할 수 없을 때 유용하다.

또한 부동소수점 연산에서도 오차가 누적되지 않는 성질이 있다.

또, 그람-슈미트 방법과 기븐스 회전 방법과 함께 QR 분해에서 고유한 방법을 제공한다.

하우스홀더 변환은 밴드 행렬의 일종인 3중대각행렬처럼 밴드 행렬을 만들기도 한다.

성질

$\alpha =-sgn(a_{k+1,k}^k)\sqrt{\sum _{j=k+1}^n(a_{jk}^k{)}^2}$

$sgn()$는 부호함수

$r=\sqrt{\frac{1}{2}({\alpha }^2-a_{k+1,k}^k\alpha )}$

$v_1^k=v_2^k=\cdots =v_k^k=0;$

$v_{k+1}^k=\frac{a_{k+1,k}^k-\alpha }{2r}$

$v_j^k=\frac{a_{jk}^k}{2r}$

$j=k+2,k+3,\dots ,n$

$Q^k=I-2v^{(k)}(v^{(k)}{)}^T$

$A^{(k+1)}=Q^k{A}^{(k)}{Q}^k$

예

하우스홀더변환에의한 $4\times 4matrix$ 의 3중대각행렬 유도과정

$𝐀=\left[\begin{array}{cccc}4& 1& -2& 2\\ 1& 2& 0& 1\\ -2& 0& 3& -2\\ 2& 1& -2& -1\end{array}\right]$

우선, 첫번째 하우스홀더 행렬을 구하면,

$Q_1=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1/3& 2/3& -2/3\\ 0& 2/3& 2/3& 1/3\\ 0& -2/3& 1/3& 2/3\end{array}\right]$

$A_1=Q_{1}A{Q}_1=\left[\begin{array}{cccc}4& -3& 0& 0\\ -3& 10/3& 1& 4/3\\ 0& 1& 5/3& -4/3\\ 0& 4/3& -4/3& -1\end{array}\right]$

$A_1$을 이용해서 $Q_2=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -3/5& -4/5\\ 0& 0& -4/5& 3/5\end{array}\right]$

$A_2=Q_2{A}_1{Q}_2=\left[\begin{array}{cccc}4& -3& 0& 0\\ -3& 10/3& -5/3& 0\\ 0& -5/3& -33/25& -68/75\\ 0& 0& -68/75& 149/75\end{array}\right]$

이것은 두 단계를 거쳐 프로세스가 완료된다.

이것의 최종 결과는 원래의 것과 유사한 형태인 $3\times 3$행렬의 3중대각행렬이다.

같이 보기

• 하우스홀더 행렬
• 5중대각행렬
• 케일리 변환(Cayley transform)

참고

• http://mathworld.wolfram.com/HouseholderMatrix.html