피카르의 정리

복소해석학에서 피카르의 대정리(틀:Llang)와 피카르의 소정리(틀:Llang)는 정칙 함수의 특이점 근처에서의 상에 대한 정리다.

정의

리만 곡면 $\mathrm{\Sigma }$ 및 점 $z_0\in \mathrm{\Sigma }$가 주어졌다고 하고, 정칙 함수

$f:\mathrm{\Sigma }\setminus \{z_0\}\to \widehat{ℂ}$

가 $z_0$에서 본질적 특이점을 갖는다고 하자. 피카르의 대정리에 따르면, 다음 성질을 만족시키는 두 점 $w_1,w_2\in \widehat{ℂ}$이 존재한다.

• 임의의 근방 $U\ni z_0$ 및 임의의 $w\in \widehat{ℂ}\setminus \{w_1,w_2\}$에 대하여, $w=f(z_1)=f(z_2)=f(z_3)=\cdots$인 $z_1,z_2,z_3,\dots \in U$가 존재한다.

따름정리

피카르의 소정리에 따르면, 만약 $f:ℂ\to ℂ$가 정칙 함수라면, 다음 세 명제 가운데 하나가 성립한다.

• $f(ℂ)=ℂ$
• $\mathrm{\exists }{w}_0\in ℂ:f(ℂ)=ℂ\setminus \{w_0\}$
• $\mathrm{\exists }{w}_0\in ℂ:f(ℂ)=\{w_0\}$

이는 리우빌 정리를 강화한 것이다.

피카르의 소정리는 피카르의 대정리의 따름정리이다. 즉, $\mathrm{\Sigma }=\widehat{ℂ}$이며 $z_0=\hat{\mathrm{\infty }}$라고 하자. 그렇다면 $f:\widehat{ℂ}\setminus \{\hat{\mathrm{\infty }}\}\to ℂ$는 무한대에서의 성질에 따라 다음과 같은 세 가지 경우로 분류된다.

• 만약 $f$가 무한대에서 정칙 함수라면, 리우빌 정리에 따라 $f$는 상수 함수이다.
• 만약 $f$가 무한대에서 극점을 갖는다면, $f$는 다항식이다. 이 경우 대수학의 기본정리에 따라 $f(ℂ)=ℂ$이다.
• 만약 $f$가 무한대에서 본질적 특이점을 갖는다면, 피카르의 대정리에 따라 $f(ℂ)=\widehat{ℂ}\setminus \{w_1,w_2\}$의 꼴이며, $f(ℂ)\subset ℂ$이므로 $w_2=\hat{\mathrm{\infty }}$로 놓을 수 있다.

예

함수 $z\mapsto \exp (1/z)$는 $z=0$에서 본질적 특이점을 갖는다. 이 경우, 피카르의 대정리에 의하여 존재하는 두 값들은

$\{w_1,w_2\}=\{0,\hat{\mathrm{\infty }}\}$

이다.

위 예에 뫼비우스 변환을 가해, $\{w_1,w_2\}$가 임의의 값을 갖는 예를 찾을 수 있다.

역사

에밀 피카르의 이름을 땄다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:매스월드