푸르만 원

기하학에서, 푸르만 원(틀:Llang)은 삼각형의 수심과 나겔 점을 잇는 선분을 지름으로 하는 원이다.

정의

삼각형 $A B C$ 의 외접원의 호 $B C$ , $C A$ , $A B$ 의 중점을 각각 ${F_{A}}^{'}$ , ${F_{B}}^{'}$ , ${F_{C}}^{'}$ 라고 하자. 직선 $B C$ 에 대한 ${F_{A}}^{'}$ 의 반사상을 $F_{A}$ , 직선 $C A$ 에 대한 ${F_{B}}^{'}$ 의 반사상을 $F_{B}$ , 직선 $A B$ 에 대한 ${F_{C}}^{'}$ 의 반사상을 $F_{C}$ 라고 하자. 그렇다면 삼각형 $F_{A} F_{B} F_{C}$ 를 원래 삼각형 $A B C$ 의 푸르만 삼각형(틀:Llang)이라고 한다. 푸르만 삼각형의 외접원을 푸르만 원이라고 한다.

성질

푸르만 원은 수심과 나겔 점을 잇는 선분을 지름으로 한다.^[1]틀:Rp 특히, 푸르만 원의 중심은 수심과 나겔 점을 잇는 선분의 중점이다. 틀:증명 삼각형 $A B C$ 의 수심을 $H$ , 나겔 점을 $X_{8}$ 이라고 하자. 그렇다면 $F_{A} {F_{A}}^{'}$ 은 선분 $B C$ 의 수직 이등분선이므로, 선분 $B C$ 의 중점 $M_{A}$ 와 외심 $O$ 를 지난다. 특히 $O$ 에 대한 ${F_{A}}^{'}$ 의 반사상을 ${F_{A}}^{″}$ 이라고 할 경우 선분 ${F_{A}}^{'} {F_{A}}^{″}$ 은 외접원의 지름이다. $A H$ 와 ${F_{A}}^{″} F_{A}$ 는 모두 $B C$ 의 수선이므로 평행한다. 또한

\begin{matrix} A H & = 2 O M_{A} \\ = 2 O {F_{A}}^{'} - 2 M_{A} {F_{A}}^{'} \\ = {F_{A}}^{″} {F_{A}}^{'} - F_{A} {F_{A}}^{'} \\ = {F_{A}}^{″} F_{A} \end{matrix}

이므로 선분 $H F_{A}$ 는 선분 $A {F_{A}}^{″}$ 의 평행 이동상이며, 특히 이 두 선분의 직선은 평행한다.

삼각형 $A B C$ 의 반중점 삼각형 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 의 $A$ , $B$ , $C$ 에 대한 꼭짓점을 $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ 이라고 하자. 그렇다면 $X_{8}$ 은 삼각형 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 의 내심이며, 특히 $A^{'} X_{8}$ 은 삼각형 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 의 내각 이등분선이다. $A {F_{A}}^{'}$ 역시 삼각형 $A B C$ 의 내각 이등분선이므로, $A^{'} X_{8}$ 과 $A {F_{A}}^{'}$ 은 평행한다. $M_{A}$ 는 선분 $A A^{'}$ 과 $F_{A} {F_{A}}^{'}$ 의 공통 중점이므로, 선분 $A {F_{A}}^{'}$ 과 $A^{'} F_{A}$ 는 서로 $M_{A}$ 에 대한 반사상이며, 특히 이 두 선분의 직선은 평행한다. 따라서, $A^{'}$ , $X_{8}$ , $F_{A}$ 는 공선점이며, $X_{8} F_{A}$ 와 $A {F_{A}}^{'}$ 은 평행한다.

선분 ${F_{A}}^{'} {F_{A}}^{″}$ 은 삼각형 $A B C$ 의 외접원의 지름이므로, $A {F_{A}}^{'}$ 과 $A {F_{A}}^{″}$ 은 서로 수직이다. 따라서 $X_{8} F_{A}$ 와 $H F_{A}$ 역시 서로 수직이며, $F_{A}$ 는 선분 $H X_{8}$ 를 지름으로 하는 원 위의 점이다. 틀:증명 끝

삼각형 $A B C$ 의 세 변의 길이를 $a = B C$ , $b = A C$ , $c = A B$ 라고 하고, 외접원의 반지름을 $R$ 라고 하자. 그렇다면 푸르만 원의 반지름은

R \sqrt{\frac{a^{3} + b^{3} + c^{3} - (a^{2} b + a^{2} c + a b^{2} + b^{2} c + a c^{2} + b c^{2}) + 3 a b c}{a b c}}

이다.^[2]틀:Rp

삼각형 $A B C$ 의 내접원의 반지름을 $r$ 라고 하고, 각 꼭짓점 $A$ , $B$ , $C$ 에서 대변에 내린 수선과 푸르만 원 사이의 수심이 아닌 교점을 $P$ , $Q$ , $R$ 라고 하자. 그렇다면

A P = B Q = C R = 2 r

이다.^[1]틀:Rp

삼각형 $A B C$ 의 세 변의 길이를 $a = B C$ , $b = A C$ , $c = A B$ 라고 하고, 외심을 $O$ , 내심을 $I$ 라고 하자. 그렇다면 푸르만 삼각형의 세 변의 길이는

F_{B} F_{C} = \sqrt{\frac{(a + b + c) (b + c - a)}{b c}} O I = \sqrt{\frac{a (a^{3} + b^{3} + c^{3} - (a^{2} b + a^{2} c + a b^{2} + b^{2} c + a c^{2} + b c^{2}) + 3 a b c)}{(a - b + c) (a + b - c)}}

F_{A} F_{C} = \sqrt{\frac{(a + b + c) (a - b + c)}{a c}} O I = \sqrt{\frac{b (a^{3} + b^{3} + c^{3} - (a^{2} b + a^{2} c + a b^{2} + b^{2} c + a c^{2} + b c^{2}) + 3 a b c)}{(b + c - a) (a + b - c)}}

F_{A} F_{B} = \sqrt{\frac{(a + b + c) (a + b - c)}{a b}} O I = \sqrt{\frac{c (a^{3} + b^{3} + c^{3} - (a^{2} b + a^{2} c + a b^{2} + b^{2} c + a c^{2} + b c^{2}) + 3 a b c)}{(b + c - a) (a - b + c)}}

이다.^[2]틀:Rp

삼각형 $A B C$ 의 내심을 $I$ , 외심을 $O$ , 수심을 $H$ , 나겔 점을 $X_{8}$ , 푸르만 원의 중심을 $X_{355}$ 라고 하자. 그렇다면 사각형 $O I X_{355} X_{8}$ 과 사각형 $O I H X_{355}$ 는 모두 평행 사변형이며, 그 무게 중심은 각각 슈피커 중심 및 구점원의 중심이다.^[2]틀:Rp 특히, 슈피커 중심은 외심과 푸르만원의 중심을 잇는 선분의 중점이며, 구점원의 중심은 내심과 푸르만 원의 중심을 잇는 선분의 중점이다.

삼각형 $A B C$ 의 외접원과 내접원의 반지름을 $R$ 와 $r$ 라고 하자. 그렇다면 내심 $I$ 와 푸르만 원의 중심 $X_{355}$ 사이의 거리는 다음과 같다.^[2]틀:Rp

I X_{355} = 2 N I = R - 2 r

여기서 $N$ 은 구점원의 중심이다.

각주

틀:각주

외부 링크

↑ ^1.0 ^1.1 틀:서적 인용
↑ ^2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 틀:웹 인용

[Honsberger-1] 1.0 ^1.1 틀:서적 인용

[Douillet-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 틀:웹 인용

[1]

[2]

푸르만 원

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정의

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