편각 원리

경로 $\gamma$를 따라 $f^{\prime }/f$를 적분한 결과는 $f$의 영점(파란색)과 극점(빨간색)의 개수를 이용하여 구할 수 있다.

복소해석학에서 편각 원리(偏角原理, 틀:Llang)는 유리형 함수의 로그 도함수의 닫힌곡선을 따른 경로 적분과 경로 내부에 포함된 영점과 극점 사이의 관계를 제시하는 정리이다.

정의

연결 열린집합 $D\subseteq ℂ$ 속의 길이를 갖는 널호모토픽 단순 닫힌곡선 $\gamma :[0,1]\to D$가 주어졌고, 유리형 함수 $f:D\to \widehat{ℂ}$가 $\mathrm{im}\gamma$ 위에서 영점이나 극점을 갖지 않는다고 하자. 그렇다면 편각 원리에 따르면 다음이 성립한다.

$\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}\mathrm{d}z=\sum _{z_0}N(f;z_0)$

여기서 $\sum _{z_0}$는 $\mathrm{im}\gamma$의 내부에 포함된 점들에 대한 합이며, $N(f;z_0)\in \mathbb{Z}$는

$f(z)=\mathrm{\Theta }(z-z_0{)}^{N(f;z_0)}(z\to z_0)$

을 만족시키는 정수이다. 즉, 만약 $z_0$이 영점이라면 영점의 차수이며, $z_0$이 극점이라면 극점의 차수의 −1배이며, 영점이나 극점이 아니라면 $N(f;z_0)=0$이다. 유리형 함수의 영점 또는 극점은 고립점이므로, $f$는 $\mathrm{im}\gamma$에서 유한 개의 영점 또는 극점을 가지며, 따라서 이 합은 유한하다.

증명

우선, $f^{\prime }/f$는 $\mathrm{im}\gamma$에서 영점이나 극점을 갖지 않으므로, $\gamma$ 위의 경로 적분이 존재한다. 임의의 $\mathrm{im}\gamma$ 내부의 점 $z_0$에 대하여, 다음과 같은 유리형 함수 $g:D\to \widehat{ℂ}$를 정의하자.

$g(z)=\frac{f(z)}{(z-z_0{)}^{N(f;z_0)}}\mathrm{\forall }z\in D$

그렇다면, $N(f;z_0)$의 정의에 의하여, $g$는 어떤 열린 근방 $D\supseteq N\ni z_0$에서 영점이나 극점을 갖지 않는다. 따라서 $g^{\prime }/g$는 $N$에서 극점을 갖지 않는다. 이제 $0<r<d(z_0,\partial N)$을 취하자. 그렇다면 코시 적분 정리에 의하여

$\mathrm{Res}(\frac{f^{\prime }}{f};z_0)=\frac{1}{2\pi i}\underset{|z-z_0|=r}{\int }\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}\mathrm{d}z=\frac{1}{2\pi i}\underset{|z-z_0|=r}{\int }(\frac{N(f;z_0)}{z-z_0}+\frac{g^{\prime }(z)}{g(z)})\mathrm{d}z=N(f;z_0)$

이며, 따라서 유수 정리에 의하여

$\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}\mathrm{d}z=\sum _{z_0}\mathrm{Res}(\frac{f^{\prime }}{f};z_0)=\sum _{z_0}N(f;z_0)$

이다.

일반화

연결 열린집합 $D\subseteq ℂ$ 속의 길이를 갖는 널호모토픽 단순 닫힌곡선 $\gamma :[0,1]\to D$가 주어졌고, 유리형 함수 $f:D\to \widehat{ℂ}$가 $\mathrm{im}\gamma$ 위에서 영점이나 극점을 갖지 않는다고 하자. 그렇다면, 임의의 정칙 함수 $g:D\to ℂ$에 대하여,

$\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}g(z)\mathrm{d}z=\sum _{z_0}N(f;z_0)g(z_0)$

이다. 이 정리에서

$g(z)=1\mathrm{\forall }z\in D$

를 취하면 편각 원리를 얻으며, 어떤 $z_0\in D$에 대하여

$f(z)=z-z_0\mathrm{\forall }z\in D$

를 취하면 코시 적분 공식을 얻는다. 이 정리는 아벨-플라나 공식을 증명하는 데 쓰인다.

역사

프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시가 증명하였다.

같이 보기

• 루셰 정리

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드