루셰 정리

틀:위키데이터 속성 추적 복소해석학에서 루셰 정리(-定理, 틀:Llang)는 두 정칙 함수의 영점의 수가 같을 충분 조건을 제시하는 정리이다.

정의

연결 열린집합 $D\subseteq ℂ$ 속의 길이를 갖는 널호모토픽 단순 닫힌곡선 $\gamma :[0,1]\to D$가 주어졌고, 두 정칙 함수 $f,g:D\to ℂ$가 임의의 $z\in \mathrm{im}\gamma$에 대하여

$|g(z)|<|f(z)|$

를 만족시킨다고 하자. 루셰 정리에 따르면, $\mathrm{im}\gamma$의 내부에서 $f$와 $f+g$의 영점의 (중복도를 고려한) 개수는 같다.

증명

증명1

우선, 가정에 의하여 $f$와 $f+g$는 $\mathrm{im}\gamma$ 위에서 영점을 갖지 않는다. 이제 다음과 같은 유리형 함수 $h:D\to ℂ$를 정의하자.

$h(z)=1+\frac{g(z)}{f(z)}\mathrm{\forall }z\in D$

그렇다면, 임의의 $z\in \mathrm{im}\gamma$에 대하여,

$|h(z)-1|<1$

이며, $h$는 $\mathrm{im}\gamma$ 위에서 영점이나 극점을 갖지 않는다. 이제 $\mathrm{im}\gamma$의 내부에서 $f$와 $f+g$의 영점의 (중복도를 고려한) 개수를 $N(\gamma ,f)$와 $N(\gamma ,f+g)$라고 하자. 그렇다면, 편각 원리에 의하여

$N(\gamma ,f+g)-N(\gamma ,f)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }(\frac{f^{\prime }(z)+g^{\prime }(z)}{f(z)+g(z)}-\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)})\mathrm{d}z=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{h^{\prime }(z)}{h(z)}\mathrm{d}z=\frac{1}{2\pi i}\underset{h\circ \gamma }{\int }\frac{\mathrm{d}w}{w}=0$

이다.

증명2

우선, 가정에 의하여, 임의의 $t\in [0,1]$ 및 $z\in \mathrm{im}\gamma$에 대하여,

$f(z)+tg(z)\ne 0$

이다. 편각 원리에 의하여, 연속 함수

$\phi :[0,1]\to \mathbb{Z}$

$\phi (t)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{f^{\prime }(z)+t{g}^{\prime }(z)}{f(z)+tg(z)}\mathrm{d}z\mathrm{\forall }t\in [0,1]$

의 상은 항상 정수이다. 즉, $\phi$는 상수 함수이며, 특히

$N(\gamma ,f)=\phi (0)=\phi (1)=N(\gamma ,f+g)$

이다.

예

방정식

$z^7-4z^3+z-1=0$

이 원

$|z|=1$

의 내부에서 몇 개의 해를 갖는지 구해보자. 다음과 같은 함수 $f,g:ℂ\to ℂ$를 정의하자.

$f(z)=4z^3\mathrm{\forall }z\in ℂ$

$g(z)=z^7+z-1\mathrm{\forall }z\in ℂ$

그렇다면 $f,g$는 정칙 함수이다. 또한, 삼각 부등식에 의하여 만약 $|z|=1$이라면

$|g(z)|\le 3<4=|f(z)|$

이다. $f$는 $|z|<1$에서 3개의 영점을 가지므로, $f+g$ 역시 $|z|<1$에서 3개의 영점을 갖는다.

따름정리

루셰의 정리를 이용하면 대수학의 기본 정리와 열린 사상 정리, 후르비츠 정리를 쉽게 증명할 수 있다.

대수학의 기본 정리

루셰의 정리를 이용하여 간단히 대수학의 기본 정리를 증명해 보자. 임의의 n차 다항식에서 n차 항과 n-1차 이하 항을 각각 f, g로 잡자. 그러면 z의 크기를 무한대로 보낼 때 |g/f|→0 이므로, |z| = R로 둘러싸인 영역이 g의 영점을 포함하고 이 경계에서 |g| < |f|를 만족하도록 항상 적당한 R을 잡을 수 있다. 그러면 |z| = R 안에서 f는 n개의 해를 가지므로, 루셰의 정리에 의해 f+g 역시 n개의 해를 가지게 된다.

역사

프랑스 수학자 외젠 루셰(틀:Llang)의 이름이 붙어 있다.

참고 문헌

• 강승필, 《해설 복소함수론》, 경문사, 2007
• Elias M. Stein, Rami Shakarchi (2003), Complex Analysis, Princeton University Press, 틀:ISBN

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드