퍼지 집합

틀:위키데이터 속성 추적 퍼지 집합(틀:Lang)은 기존의 집합을 퍼지 논리 개념을 사용해 확장한 것으로, 각 원소는 그 집합에 속하는 정도(소속도)가 존재한다. 이때 소속도는 0과 1 사이의 실수로 표현되고, 원소가 집합에 완전히 속하는 경우를 1, 전혀 속하지 않는 경우를 0으로 나타낸다.

퍼지 집합은 로트피 자데가 고전적인 집합을 확장한 개념으로서 고안하였다.

정의

퍼지 집합 $A$은 고전적인 집합 $U$와 소속함수(membership function) ${\mu }_A:U\to [0,1]$에 의하여 정의된다. 여기서 $x\in U$에 대해 ${\mu }_A(x)$는 $A$에 대한 $x$의 소속도를 나타낸다.

(여기에서 소속함수가 고전적인 집합에서의 지시 함수의 확장임을 알 수 있다.) 이것을 다음과 같이 표기한다.

$A=\{(x,{\mu }_A(x))|x\in U\}$

이것을 소속함수 표기법이라 한다. $U$가 유한 집합일 경우 고전적인 집합의 원소나열법과 비슷한 방법으로 표시할 수 있다.

예를 들어 $U=\{1,2,3,4,5\}$이고, ${\mu }_A(1)=0.7,{\mu }_A(2)=0.5,{\mu }_A(3)=0.2,{\mu }_A(4)=0,{\mu }_A(5)=0$이라면 이것을

$A=\{(1,0.7),(2,0.5),(3,0.2)\}$

와 같은 순서쌍들의 나열로 표시할 수 있다.

그러나 $\{x\in U|{\mu }_A(x)\ne 0\}$에서 $U$가 무한 집합일 경우에는 이와 같은 방법을 적용할 수 없다.

기본 개념

전체집합과 공집합

위의 예에서 소속함수들의 정의역인 집합 U를 전체집합이라 한다. 전체집합은 고전적인 집합임을 알 수 있다. 즉 모든 x에 대해 U에 대한 x의 소속도가 1이다. 쌍대 개념으로, 공집합은 U 안의 모든 x에 대해 그에 대한 x의 소속도가 0인 집합을 말한다.

연산

전통적인 집합 개념과 같이, 퍼지 집합에서도 여집합, 합집합 등의 집합의 연산을 정의할 수 있다.

• 퍼지 여집합

퍼지 집합 $A$에 대하여 그 여집합 $A^c$는 다음의 소속함수에 의하여 정의된다.

${\mu }_{A^c}(x)=1-{\mu }_A(x)$

• 퍼지 합집합

두 퍼지 집합 $A$와 $B$에 대하여 그 합집합 $A\cup B$는 다음의 소속함수에 의하여 정의된다.

${\mu }_{A\cup B}(x)=\max ({\mu }_A\left(x\right),{\mu }_B\left(x\right))$

즉 두 퍼지 집합에 대한 소속도 중에서 큰 쪽의 소속도를 가지게 된다.

• 퍼지 교집합

두 퍼지 집합 $A$와 $B$에 대하여 그 교집합 $A\cap B$는 다음의 소속함수에 의하여 정의된다.

${\mu }_{A\cap B}(x)=\min ({\mu }_A\left(x\right),{\mu }_B\left(x\right))$

퍼지 교집합은 퍼지 차집합과 상대적으로, 소속도 중에서 작은 쪽의 소속도를 가지게 된다.

• 퍼지 차집합

고전적인 집합에서와 같이, 두 퍼지 집합 $A$와 $B$에 대하여 그 차집합 $A-B$는 다음과 같이 정의된다.

$A-B=A\cap B^c$

같이 보기

• 중복집합
• 불확실성

외부 링크

• 틀:언어링크 Fuzzy Sets