파데 근사

틀:위키데이터 속성 추적 해석학에서, 파데 근사(Padé近似, 틀:Llang)는 어떤 함수를 유리 함수로 근사하는 방법이다. 테일러 급수의 일반화이다.

정의

매끄러운 함수 $f:ℝ\to ℝ$ 및 음이 아닌 정수 $m,n\in \mathbb{N}$이 주어졌다고 하자. $f$의 $(m,n)$차 파데 근사 $[m/n{]}_f$는 다음과 같은 꼴의 유리 함수이다.

$[m/n{]}_f(x)=\frac{\sum _{j=0}^m{a}_j{x}^j}{1+\sum _{i=1}^n{b}_i{x}^i}$

이는 다음 성질을 만족시켜야 한다.

$f^{(k)}(0)=[m/n{]}_f^{(k)}(0)\mathrm{\forall }k\in \{0,\dots ,m+n\}$

즉, $(m,n)$차 파데 근사는 $m+n$차 도함수까지 원래 함수와 일치한다.

주어진 $(m,n)$에 대하여, 파데 근사는 (만약 존재한다면) 유일하다. $n=0$이라면, 파데 근사는 매클로린 급수가 된다. 마찬가지로, $m=0$이며 $f(0)\ne 0$이라면 $f$ 파데 근사는 $1/f$의 매클로린 급수의 역수이다.

계산

매끄러운 함수 $f$의 파데 근사를 계산한다고 하자. $f(x)$의 $m+n$차 매클로린 급수를 $T(x)\in ℝ[x]$라고 하자.

$f(x)=T(x)+𝒪(x^{m+n+1})$

만약

$[m/n{]}_f(x)=\frac{p(x)}{1+xq(x)}$

라면, 이는

$p(x)=T(x)(1+xq(x))(\mathrm{mod}{x}^{m+n+1})$

과 동치이다. 이는 양변을 전개하여, $m+n$개의 변수에 대한 $m+n$개의 연립 1차 방정식으로 놓을 수 있으므로, 쉽게 풀 수 있다.

예

지수 함수 $x\mapsto \exp x$의 파데 근사들은 다음과 같다.

m \ n	0	1	2	3
0	$\frac{1}{1}$	$\frac{1}{1-z}$	$\frac{1}{1-z+\frac{1}{2}{z}^2}$	$\frac{1}{1-z+\frac{1}{2}{z}^2-\frac{1}{6}{z}^3}$
1	$\frac{1+z}{1}$	$\frac{1+\frac{1}{2}z}{1-\frac{1}{2}z}$	$\frac{1+\frac{1}{3}z}{1-\frac{2}{3}z+\frac{1}{6}{z}^2}$	$\frac{1+\frac{1}{4}z}{1-\frac{3}{4}z+\frac{1}{4}{z}^2-\frac{1}{24}{z}^3}$
2	$\frac{1+z+\frac{1}{2}{z}^2}{1}$	$\frac{1+\frac{2}{3}z+\frac{1}{6}{z}^2}{1-\frac{1}{3}z}$	$\frac{1+\frac{1}{2}z+\frac{1}{12}{z}^2}{1-\frac{1}{2}z+\frac{1}{12}{z}^2}$	$\frac{1+\frac{2}{5}z+\frac{1}{20}{z}^2}{1-\frac{3}{5}z+\frac{3}{20}{z}^2-\frac{1}{60}{z}^3}$
3	$\frac{1+z+\frac{1}{2}{z}^2+\frac{1}{6}{z}^3}{1}$	$\frac{1+\frac{3}{4}z+\frac{1}{4}{z}^2+\frac{1}{24}{z}^3}{1-\frac{1}{4}z}$	$\frac{1+\frac{3}{5}z+\frac{3}{20}{z}^2+\frac{1}{60}{z}^3}{1-\frac{2}{5}z+\frac{1}{20}{z}^2}$	$\frac{1+\frac{1}{2}z+\frac{1}{10}{z}^2+\frac{1}{120}{z}^3}{1-\frac{1}{2}z+\frac{1}{10}{z}^2-\frac{1}{120}{z}^3}$
4	$\frac{1+z+\frac{1}{2}{z}^2+\frac{1}{6}{z}^3+\frac{1}{24}{z}^4}{1}$	$\frac{1+\frac{4}{5}z+\frac{3}{10}{z}^2+\frac{1}{15}{z}^3+\frac{1}{120}{z}^4}{1-\frac{1}{5}z}$	$\frac{1+\frac{2}{3}z+\frac{1}{5}{z}^2+\frac{1}{30}{z}^3+\frac{1}{360}{z}^4}{1-\frac{1}{3}z+\frac{1}{30}{z}^2}$	$\frac{1+\frac{4}{7}z+\frac{1}{7}{z}^2+\frac{2}{105}{z}^3+\frac{1}{840}{z}^4}{1-\frac{3}{7}z+\frac{1}{14}{z}^2-\frac{1}{210}{z}^3}$

일반적으로, $\exp (x)$의 $(m,n)$차 파데 근사는

$R_{m,n}(x)=\frac{{}_1{F}_1(-m;-m-n;x)}{{}_1{F}_1(-n;-m-n;-x)}$

이다. 여기서 ${}_1{F}_1$은 초기하 함수의 하나이다.

역사

프랑스의 수학자 앙리 외젠 파데(틀:Llang, 1863~1953)가 박사 학위 논문에서 도입하였다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드