탈레스 정리 (평행)

틀:위키데이터 속성 추적 기하학에서, 탈레스 정리(틀:Llang)는 삼각형의 밑변에 평행한 직선은 다른 두 변을 같은 비로 분할한다는 정리이다.

정의

평면 위 3개의 서로 다른 평행선 $l$, $l^{\prime }$, $l^{″}$이 주어졌다고 하자. 또 다른 두 직선이 $l$, $l^{\prime }$, $l^{″}$과 하나는 각각 점 $A$, $A^{\prime }$, $A^{″}$에서 만나고, 다른 하나는 각각 점 $B$, $B^{\prime }$, $B^{″}$에서 만난다고 하자. 탈레스 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

$\frac{\overrightarrow{A{A}^{″}}}{\overrightarrow{A{A}^{\prime }}}=\frac{\overrightarrow{B{B}^{″}}}{\overrightarrow{B{B}^{\prime }}}$

특히, 만약 $A^{″}$이 $A$에 대하여 $A^{\prime }$과 같은 쪽에 있다면, $B^{″}$ 역시 $B$에 대하여 $B^{\prime }$과 같은 쪽에 있으며, 반대로 만약 $A^{″}$이 $A$에 대하여 $A^{\prime }$과 다른 쪽에 있다면, $B^{″}$ 역시 $B$에 대하여 $B^{\prime }$과 다른 쪽에 있다.

증명

우선 $\overrightarrow{A{A}^{″}}/\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=1/2$인 경우를 보이자. $A$를 지나는 $B{B}^{\prime }$의 평행선과 $l^{″}$의 교점을 $C^{″}$이라고 하고, $A^{″}$을 지나는 $B{B}^{\prime }$의 평행선과 $l^{\prime }$의 교점을 $C^{\prime }$이라고 하자. 그렇다면 $\mathrm{\angle }{A}^{″}A{C}^{″}=\mathrm{\angle }{A}^{\prime }{A}^{″}{C}^{\prime }$, $A{A}^{″}=A^{″}{A}^{\prime }$, $\mathrm{\angle }A{A}^{″}{C}^{″}=\mathrm{\angle }{A}^{″}{A}^{\prime }{C}^{\prime }$이므로, 삼각형 $A{A}^{″}{C}^{″}$과 $A^{″}{A}^{\prime }{C}^{\prime }$은 합동이며, 특히 $\overrightarrow{A{C}^{″}}=\overrightarrow{A^{″}{C}^{\prime }}$이다. 사각형 $AB{B}^{″}{C}^{″}$, $A^{″}{B}^{″}{B}^{\prime }{C}^{\prime }$은 모두 평행 사변형이므로,

$\overrightarrow{B{B}^{″}}=\overrightarrow{A{C}^{″}}=\overrightarrow{A^{″}{C}^{\prime }}=\overrightarrow{B^{″}{B}^{\prime }}$

이다. 즉, $\overrightarrow{B{B}^{″}}/\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=1/2$가 성립한다.

이는 비가 유리수인 경우를 자명하게 함의한다. 즉, 정수 $m$과 양의 정수 $n$에 대하여 $\overrightarrow{B{B}^{″}}/\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=m/n$이라고 하자. 선분 $A{A}^{\prime }$을 $n$등분하고, 직선 $A{A}^{\prime }$의 남은 부분까지 같은 길이로 등분하자. 그렇다면, 각 $n$등분점을 지나는 $l$의 평행선과 직선 $B{B}^{\prime }$의 교점 역시 선분 $B{B}^{\prime }$을 $n$등분하며, 또한 직선 $B{B}^{\prime }$의 남은 부분을 같은 길이로 등분한다. 따라서 $\overrightarrow{A{A}^{″}}/\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=m/n$이 성립한다.

이제 $\overrightarrow{A{A}^{″}}/\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\lambda$가 일반적인 실수인 경우를 보이자. $\overrightarrow{B{B}^{″}}/\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\mu$이라고 가정하자. 임의의 유리수 $q$에 대하여, 직선 $A{A}^{\prime }$ 위에서 $\overrightarrow{AP}=q\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$인 점 $P$를 취하고, $P$를 지나는 $l$의 평행선과 직선 $B{B}^{\prime }$의 교점을 $Q$라고 하자. 그렇다면 $\overrightarrow{BQ}=q\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$이다. $A^{″}{B}^{″}$과 $PQ$는 평행하므로, 만약 $\lambda <q$라면 $\mu <q$, 만약 $\lambda =q$라면 $\mu =q$, 만약 $\lambda >q$라면 $\mu >q$이다. 유리수가 실수 집합의 조밀 집합을 이룬다는 사실에 의하여, $\mu =\lambda$가 성립한다.

따름정리와 일반화

닮음 삼각형의 성질

삼각형 $ABC$의 두 변 $AB$, $AC$의 직선과 점 $B^{\prime }$, $C^{\prime }$에서 만나는 직선 $B^{\prime }{C}^{\prime }$이 다른 한 변 $BC$에 평행한다고 하자. 그렇다면,

$\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{A{B}^{\prime }}}=\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{A{C}^{\prime }}}=\frac{\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}}$

이다.틀:Rp 틀:증명 점 $A$를 지나는 $BC$의 평행선과 직선 $BC$, $B^{\prime }{C}^{\prime }$에 탈레스 정리를 적용하면 첫 번째 등식을 얻는다. 두 번째 등식은 다음과 같이 보일 수 있다.

$\frac{\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{A{B}^{\prime }}}=\frac{\overrightarrow{AC}}{\overrightarrow{A{C}^{\prime }}}=\lambda$

라고 하자. 그렇다면,

$\frac{\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}}=\frac{\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{A{C}^{\prime }}-\overrightarrow{A{B}^{\prime }}}=\frac{\lambda \overrightarrow{A{C}^{\prime }}-\lambda \overrightarrow{A{B}^{\prime }}}{\overrightarrow{A{C}^{\prime }}-\overrightarrow{A{B}^{\prime }}}=\lambda$

이다. 틀:증명 끝

중심 닮음 변환의 성질

평면 위의 중심 닮음 변환은 모든 직선을 이와 평행하는 직선으로 변환시킨다. 틀:증명 우선, 중심 닮음 변환은 아핀 변환이므로, 임의의 직선에 대하여, 그 상 역시 직선이다. 이제, 중심 닮음 변환의 중심을 $O$라고 하고, 원래 직선 위의 서로 다른 두 점 $A$, $B$를 취하자. $A$의 상을 $A^{\prime }$이라고 하고, $A^{\prime }$을 지나는 $AB$의 평행선과 직선 $OB$의 교점을 $B^{\prime }$이라고 하자. 그렇다면

$\frac{\overrightarrow{O{B}^{\prime }}}{\overrightarrow{OB}}=\frac{\overrightarrow{O{A}^{\prime }}}{\overrightarrow{OA}}$

이므로, $B^{\prime }$ 역시 $B$의 상이다. 따라서 직선 $AB$의 상직선 $A^{\prime }{B}^{\prime }$은 원래 직선에 평행한다. 틀:증명 끝

다차원 아핀 공간 일반화

체 $K$ 위의 아핀 공간 $A$의 서로 다른 평행 아핀 초평면 $H,H^{\prime },H^{″}\subseteq A$가 주어졌고, 어떤 아핀 직선 $L\subseteq A$가 $H$, $H^{\prime }$, $H^{″}$과 각각 점

$a=H\cap L$

$a^{\prime }=H^{\prime }\cap L$

$a^{″}=H^{″}\cap L$

에서 만난다고 하자. 그렇다면,

$\frac{\overrightarrow{a{a}^{″}}}{\overrightarrow{a{a}^{\prime }}}\in K$

은 아핀 초평면 $H$, $H^{\prime }$, $H^{″}$에만 의존하며, 아핀 직선 $L$의 선택과 무관하다.틀:Rp 틀:증명 아핀 초평면 $H$의 평행 이동들로 구성된 벡터 공간 $V(H)$에 대한 몫아핀 공간 $A/V(H)$로 가는 아핀 사영 변환

$P:A\to A/V(H)$

를 생각하자. 그렇다면 $P$는 아핀 변환이며, 유도된 선형 변환 $\overrightarrow{P}$를 갖는다. 이제

$\overrightarrow{a{a}^{″}}=\lambda \overrightarrow{a{a}^{\prime }}(\lambda \in K)$

라고 가정하자. 그렇다면

$\overrightarrow{P}(\overrightarrow{a{a}^{″}})=\lambda \overrightarrow{P}(\overrightarrow{a{a}^{\prime }})$

이며, $\overrightarrow{P}$의 정의에 의하여

$\overrightarrow{P(a)P(a^{″})}=\lambda \overrightarrow{P(a)P(a^{\prime })}$

이다. 따라서,

$\lambda =\frac{\overrightarrow{P(a)P(a^{″})}}{\overrightarrow{P(a)P(a^{\prime })}}=\frac{\overrightarrow{P(H)P(H^{″})}}{\overrightarrow{P(H)P(H^{\prime })}}$

은 아핀 직선 $L$의 선택과 무관하다. 틀:증명 끝

역사

고대 그리스의 수학자 탈레스의 이름을 땄다.