탁구 정리

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군론에서, 탁구 정리(卓球定理, 틀:Llang)는 어떤 부분군들의 합집합으로 생성되는 부분군이 각 성분들의 자유곱임을 보이는 정리이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

군 $G$
$G$ 의, 집합 $X$ 위의 왼쪽 작용
$G$ 의 두 부분군 $H, H^{'} \leq G$
$X$ 의 두 부분 집합 $Y, Y^{'} \subseteq X$

또한, 다음이 성립한다고 하자.

$| H | \geq 3$
$Y \neq \emptyset \neq Y^{'}$
$Y \subseteq̸ Y^{'}$
$h^{'} \cdot Y \subseteq Y^{'} \forall h^{'} \in H^{'} ∖ {1}$
$h \cdot Y^{'} \subseteq Y \forall h \in H ∖ {1}$

탁구 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

⟨ H \cup H^{'} ⟩ = H * H^{'}

여기서 좌변은 $G$ 의 부분 집합으로 생성되는 부분군이며, 우변은 군들의 자유곱이다.

증명:

임의의

a_{0}, a_{2}, \dots \in H ∖ {1}

b_{1}, b_{3}, \dots \in H ∖ {1}

n \in ℤ^{+}

에 대하여,

㈎ $a_{0} b_{1} a_{2} \dots a_{n + 1} \neq 1$
㈏ $b_{1} a_{2} b_{3} \dots b_{n} \neq 1$
㈐ $a_{0} b_{1} a_{2} \dots b_{n} \neq 1$
㈑ $b_{1} a_{2} b_{3} \dots a_{n + 1} \neq 1$

임을 보이면 족하다.

우선, ㈎의 경우는

a_{0} b_{1} \dots a_{n} \cdot Y^{'} \subseteq a_{0} b_{1} \dots b_{n} \cdot Y^{'} \subseteq \dots \subseteq a_{0} Y^{'} \subseteq Y

인데, $Y^{'} \subseteq̸ Y$ 이므로 $a_{0} b_{0} \dots b_{n} a_{n} \neq 1$ 이다.

㈏의 경우, 임의의 $a_{0} = a_{n + 1}^{- 1} \in H ∖ {1}$ 를 고르면, ㈎에 의하여 $a_{0} (b_{1} \dots b_{n - 1}) a_{0}^{- 1} \neq 1$ 이므로 $b_{1} \dots b_{n - 1} \neq 1$ 이다.

㈐의 경우, 임의의 $a_{n + 1} \in H ∖ {1, a_{0}}$ 를 고르자. 그렇다면, ㈎에 의하여 $a_{n + 1}^{- 1} (a_{0} b_{0} \dots b_{n}) a_{n + 1} \neq 1$ 이므로, $a_{0} b_{0} \dots b_{n - 1} \neq 1$ 이다.

㈑의 경우, 임의의 $a_{0} \in H ∖ {1, a_{n + 1}}$ 를 고르자. 그렇다면, ㈎에 의하여 $a_{0} (b_{1} a_{2} \dots b_{n} a_{n + 1}) a_{0}^{- 1} \neq 1$ 이므로, $b_{1} a_{2} \dots b_{n} a_{n + 1} \neq 1$ 이다.

역사

이 정리의 이름은 증명 과정에서 $H$ 와 $H^{'}$ 의 번갈아 가는 군의 작용을 탁구에서 탁구공을 양 선수가 번갈아서 치는 것에 빗댄 것이다.

탁구 정리는 펠릭스 클라인이 19세기 말에 클라인 부분군을 연구하기 위하여 최초로 사용하였다. 이후 자크 티츠 등이 이 정리의 기법을 다시 사용하였다.

예

$SL (2; ℤ)$ 에서,

A = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix})

B = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix})

로 생성되는 부분군을 생각하자. $A$ 와 $B$ 는 각각 무한 차수의 원소이다. (즉, $A^{n} = 1$ 이 되는 $n \in ℤ$ 는 $n = 0$ 밖에 없으며, $B$ 의 경우도 마찬가지이다.) 사실,

A^{n} = (\begin{matrix} 1 & 2 n \\ 0 & 1 \end{matrix})

B^{n} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 2 n & 1 \end{matrix})

이다. 이제, $SL (2; ℤ)$ 는 $X = ℝ^{2} = ℤ^{\oplus 2} \otimes_{ℤ} ℝ^{2}$ 위에 선형 변환으로 작용한다.

Y = {(x, y) \in X : | x | > | y |}

Y^{'} = {(x, y) \in X : | x | < | y |}

로 잡으면,

A^{n} Y^{'} \subseteq Y

B^{n} Y \subseteq Y^{'}

임을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서, 탁구 정리에 의하여 $⟨ A, B ⟩$ 은 2개의 원소로 생성되는 자유군이다.

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