뤼로스 상수

뤼로스상수 정의

뤼로스 상수(Lueroth 또는 Lüroth constant) $c$

$c=-\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}\ln (1-\frac{1}{k})$

$=-\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}\ln \left(\frac{k-1}{k}\right)$

$=-\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}\ln {\left(\frac{k}{k-1}\right)}^{-1}$

$=\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}\ln \left(\frac{k}{k-1}\right)$

$=0.7885305659...(OEISA085361)$

뤼로스 상수의 리만제타함수표현

뤼로스 상수 c 에 대한 시리즈(급수)는 무한대에 대한 가수를 확장하여 훨씬 더 나은 수렴 속성을 가진 시리즈로 변환 될 수있다.

$c=\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}\ln \frac{k}{k-1}$

$=\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1}{k}^{-2}+\frac{1}{2}{k}^{-3}+\frac{1}{3}{k}^{-4}+\frac{1}{4}{k}^{-5}+\cdots$

$=\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1}\frac{1}{k^2}+\frac{1}{2}\frac{1}{k^3}+\frac{1}{3}\frac{1}{k^4}+\frac{1}{4}\frac{1}{k^5}+\cdots$

$=\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n{k}^{n+1}}$

$=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n{k}^{n+1}}$

$=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\zeta (n+1)-1}{n}$

$\zeta$는 리만제타함수

알라디-그린스테드 상수

$e^{c-1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\alpha (n)=0.8093940205....(OEISA085291)$

$e$는 극한값 e

$c$는 뤼로스 상수

$\alpha (n)$는 알라디-그린스테드 상수

같이 보기

• 수학 상수
• 킨친 상수
• 번분수

참고

• Alladi, K. and Grinstead, C. "On the Decomposition of n! into Prime Powers." J. Number Th. 9, 452-458, 1977
• (매스월드)http://mathworld.wolfram.com/Alladi-GrinsteadConstant.html
• (매스월드)http://mathworld.wolfram.com/LuerothsTheorem.html
• (매스월드)http://mathworld.wolfram.com/ConvergenceImprovement.html
• (OEIS)http://oeis.org/A085361 -(Khintchine's constant for Lüroth representation - Journal of Number Theory Volume 29, Issue 2, June 1988, Pages 196-205) (https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0022314X88900996?via%3Dihub)
• (OEIS)http://oeis.org/A002210