쾨니그의 정리 (집합론)

틀:위키데이터 속성 추적 집합론에서 쾨니그의 정리(Kőnig의定理, 틀:Llang)는 일련의 기수의 순부등식에서, 작은 쪽의 합을 취하고, 큰 쪽의 곱을 취해도 여전히 순부등식이 성립한다는 정리다.

정의

집합 $I$ 및 기수의 집합 $\{{\kappa }_i{\}}_{i\in I}$, $\{{\lambda }_i{\}}_{i\in I}$가 주어졌고, 또한 모든 $i\in I$에 대하여

${\kappa }_i<{\lambda }_i$

라고 하자. 쾨니그의 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

$\sum _{i\in I}{\kappa }_i<\prod _{i\in I}{\lambda }_i$

따름정리

쾨니그의 정리는 다음과 같은 따름정리들을 갖는다.

칸토어의 정리

틀:본문 ${\kappa }_i=1$이며 ${\lambda }_i=2$라고 하자. 그렇다면

$|I|<2^{|I|}$

이다. 이는 칸토어의 정리다.

선택 공리

틀:본문 ${\kappa }_i=0$이고, ${\lambda }_i$가 임의의 0이 아닌 기수라고 하자. 그렇다면

$0<\prod _{i\in I}{\lambda }_i$

이다. 이는 선택 공리의 한 형태이다.

공종도의 지수

$I$가 어떤 무한 기수 $\mu \ge {\mathrm{\aleph }}_0$의 (최소) 공종 집합이라고 하자. 즉, 이는 순서수들의 집합이다. 또한, ${\kappa }_i=|i|$로 놓고, ${\lambda }_i=\mu$라고 하자. 그렇다면

$\mu =\left|\bigcup _{i\in I}i\right|\le \sum _{i\in I}|i|<{\mu }^{|I|}={\mu }^{\mathrm{cf}\mu }$

이다. 즉, 무한 기수 $\mu$에 대하여

$\mu <{\mu }^{\mathrm{cf}\mu }\stackrel{\text{def}}{=}\gimel (\mu )$

이다. 여기서 $\gimel (\mu )$를 기멜 함수라고 한다.

공종도의 하한

어떤 무한 기수 $\kappa \ge {\mathrm{\aleph }}_0$와 기수 $\lambda \ge 2$에 대하여, 항상

$\kappa <\mathrm{cf}({\lambda }^{\kappa })$

이다.

증명은 다음과 같다. 이미 증명된 따름정리에 따라

${\left({\lambda }^{\kappa }\right)}^{\kappa }={\lambda }^{\kappa }<{\left({\lambda }^{\kappa }\right)}^{\mathrm{cf}({\lambda }^{\kappa })}$

이므로, 기수 거듭제곱의 단조성에 따라서

$\kappa <\mathrm{cf}({\lambda }^{\kappa })$

이다.

증명

집합족 $\{A_i{\}}_{i\in I}$와 $\{B_i{\}}_{i\in I}$가 주어졌고, 임의의 $i\in I$에 대하여 전사 함수

$A_i\twoheadrightarrow B_i$

가 존재하지 않는다고 하자. 임의의 함수

$f:\underset{i\in I}{⨆}{A}_i\twoheadrightarrow \prod _{i\in I}{B}_i$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $f$가 전사 함수가 아님을 보이면 족하다.

사영 함수

${\sigma }_i:A_i\hookrightarrow \underset{i\in I}{⨆}{A}_i$

${\pi }_i:\prod _{i\in I}{B}_i\twoheadrightarrow B_i$

를 정의하여,

$f_i={\pi }_i\circ f\circ {\sigma }_i:A_i\to B_i$

를 생각하자. 가정에 따라, 이 함수는 전사 함수가 아니므로,

$b_i\in B_i\setminus f_i(A_i)$

를 고르자. 그렇다면

$(b_i{)}_{i\in I}\in \prod _{i\in I}{B}_i\setminus f\left(\underset{i\in I}{⨆}{A}_i\right)$

이므로, $f$는 전사 함수가 아니다.

역사

헝가리의 수학자 쾨니그 줄러가 1904년에 증명하였다.