코르테버흐-더프리스 방정식

코르테버흐-더프리스 방정식 $u_t+u{u}_x+{\delta }^2{u}_{xxx}$의 수치해 ($\delta =0.022$, $u(x,t=0)=\cos (\pi x)$)

수학에서 코르테버흐-더프리스 방정식(틀:Llang, KdV 방정식)은 옅은 수면파를 나타내는 비선형 편미분 방정식이다. 적분가능계의 하나다.

정의

코르테버흐-더프리스 방정식은 2변수 함수 $u(x,t)$에 대한 3차 비선형 편미분 방정식이며, 다음과 같다.

$u_t+u_{xxx}=6u{u}_x$

계수 6은 일부 공식의 편의를 위하여 삽입한 것이다. 사실, $(t,x,u)$에 서로 다른 상수를 곱하여, 코르테버흐-더프리스 방정식의 세 항의 계수들을 각각 임의의 0이 아닌 수로 놓을 수 있다.

라그랑지언 형태

다음과 같은 라그랑지언 밀도의 오일러-라그랑주 방정식을 생각하자.

$ℒ=\frac{1}{2}{f}_x{f}_t+f_x^3-\frac{1}{2}{f}_{xx}^2$

여기에

$u=f_x$

로 치환하면, 이는 코르테버흐-더프리스 방정식과 같다.

성질

대칭

코르테버흐-더프리스 방정식은 변환

$x\mapsto -x$

$t\mapsto -t$

$u\mapsto u$

에 대하여 불변이다. 즉, 만약 코르테버흐-더프리스 방정식의 해 $u(t,x)$가 주어졌을 때, $u(-t,-x)$ 역시 코르테버흐-더프리스 방정식의 해이다.

럭스 쌍

코르테버흐-더프리스 방정식은 다음과 같은 럭스 쌍을 가진다.

$L=-\underset{x}{\overset{2}{\partial }}+u$

$P=6u{\partial }_x+3u_x-4u_x^3$

즉, 코르테버흐-더프리스 방정식을 다음과 같은 럭스 방정식

$L_t=[P,L]$

으로 쓸 수 있다. 따라서 코르테버흐-더프리스 방정식은 적분가능계임을 알 수 있다.

운동 상수

코르테버흐-더프리스 방정식은 무한히 많은 운동 상수를 갖는다. 구체적으로, 변수 $u(x,t)$에 대하여 다음과 같은 다항식들을 생각하자.

$P_n\in \mathbb{Z}[u,u_x,u_{xx},\dots ,\frac{{\partial }^{n-1}u}{\partial x^{n-1}}]$

$P_1=u$

$P_{n+1}=-\frac{\partial }{\partial x}{P}_n+\sum _{i=1}^{n-2}{P}_i{P}_{n-1-i}$

그렇다면, 임의의 자연수 $n\in \mathbb{N}$에 대하여 다음 적분은 코르테버흐-더프리스 방정식의 운동 상수를 이룬다.

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{P}_n(u,u_x,u_{xx},\dots )\mathrm{d}x$

다만, 만약 $n$이 짝수일 때 이는 항상 0이다. 그러나 $n$이 홀수일 때 이는 0이 아니다.

낮은 차수의 운동 상수들은 다음과 같다.

차수 $n$	운동 상수 $P_n$	설명
1	$\int u$	질량
2	$\int (-u_x)=0$
3	$\int (u_{xx}+u^2)=\int u^2$	운동량
4	$\int (-u_{xxx}-4u{u}_x)=0$
5	$\int (u_{xxxx}+5u_x^2+6u{u}_{xx}+2u^3)=\int (2u^3-u_x^2)$	에너지

솔리톤 해

코르테버흐-더프리스 방정식은 솔리톤 해를 갖는다. 이러한 해의 가설 풀이는

$u(t,x)=u(x-ct)(c\in ℝ)$

의 꼴이다. 여기서 $c$는 솔리톤의 속도이다. 또한, 솔리톤이 공간에서 국소적이어야 하므로,

$\underset{\xi \to +\mathrm{\infty }}{\lim }u(\xi )=\underset{\xi \to -\mathrm{\infty }}{\lim }u(\xi )=0$

이다.

이러한 가설 풀이를 대입하면, 다음과 같은 3차 상미분 방정식을 얻는다. (여기서 윗점은 $\xi =x-ct$에 대한 미분이다.)

$-c\dot{u}+\stackrel{\mathbf{.}\mathbf{.}\mathbf{.}}{u}-6u\dot{u}=0$

양변을 $\xi$에 대하여 적분하여 2차 상미분 방정식을 얻을 수 있다.

$-cu+\ddot{u}-3u^2=A$

여기서 $A$는 적분 상수이다. 이는 다음과 같은 라그랑지언의 오일러-라그랑주 방정식이다.

$L(u,\dot{u})=\frac{1}{2}{\dot{u}}^2+u^3+\frac{1}{2}c{u}^2+Au$

이는 퍼텐셜

$V(u)=-u^3-\frac{1}{2}c{u}^2-Au$

속에서 움직이는 입자로 해석할 수 있다. 이제, 솔리톤의 가설 풀이를 만족시키려면, $u(\pm \mathrm{\infty })=0$이어야 한다. 이는 입자가 퍼텐셜의 국소 극대점에서 $\xi =-\mathrm{\infty }$에서 시작하여, 퍼텐셜의 반대 벽을 기어오른 뒤, 다시 원래 국소 극대점으로 $\xi =+\mathrm{\infty }$에 도달하는 것에 해당한다. 이는 $A=0$이며 $c>0$일 때에만 가능하다.

이러한 해는 쉽게 계산할 수 있으며, 구체적으로 다음과 같다.

$u(x,t)=-\frac{1}{2}c{(\cosh (\frac{1}{2}\sqrt{c}(x-ct-x_0)))}^{-2}$

여기서 $x_0$는 초기 조건 $t=0$에서 솔리톤의 위치이다.

역사

조제프 발랑탱 부시네스크(틀:Llang 틀:IPA2)가 1877년에 최초로 발견하였다.틀:Rp 이를 1895년에 연구한 디데릭 요하너스 코르테버흐(틀:Llang)와 귀스타브 더프리스(틀:Llang)의 이름을 땄다.

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:Nlab