케일리의 정리
틀:위키데이터 속성 추적 군론에서 케일리의 정리(Cayley's theorem)는 모든 군이 대칭군의 부분군과 동형이라는 정리이다.[1] 아서 케일리의 이름을 땄다. 케일리의 정리는 주어진 군과 동형인 순열군을 직접 구성함으로써 증명할 수 있는데, 이를 정칙표현(正則表現)이라고 한다.
집합 위의 순열이란 에서 로 가는 전단사이다. 위의 모든 순열은 함수의 합성을 연산으로 하는 군을 이루고, 이 군을 위의 대칭군이라 하며 라 쓴다.[2] 케일리의 정리는 모든 군이 대칭군의 부분군인 순열군과 같은 구조임을 알려준다. 따라서 순열군에 관한 정리들은 모든 군에 대해서 성립한다. 다만 알퍼린과 벨에 따르면 “유한군이 대칭군에 묻힐 수 있다는 사실은 대체로 유한군의 연구 방법에 영향을 끼치지 않았다”.[3]
케일리의 정리의 표준적인 증명에서 사용하는 정칙표현은 를 부분군으로 갖는 가장 작은 대칭군을 알려주지는 않는다. 예를 들어 은 이미 위수 6의 대칭군이지만, 정칙표현으로 나타내면 위수 720의 대칭군인 의 부분군으로 표현된다. 주어진 집합을 묻을 수 있는 가장 작은 대칭군을 찾는 것은 꽤 어려운 문제이다.[4][5]
역사
케일리는 현대와 같은 군을 처음으로 정의한 사람이다. 그 전까지 군(group)은 오늘날의 순열군을 뜻하는 말이었다. 케일리의 정리는 두 개념이 동치임을 보여준다.
1911년에 윌리엄 번사이드는 케일리의 정리를 1870년에 카미유 조르당이 처음 발표했다고 했지만,[6][7] 에릭 누멜라는 일반적으로 쓰이는 이름인 “케일리의 정리”라는 이름이 사실 더 알맞다고 본다.[8] 케일리는 자신의 1854년 논문에서[9] 군과 순열군 사이에 일대일 대응을 만들 수 있음을 보였지만, 그 대응이 군 준동형사상임을 명시적으로 증명하지는 않았다. 하지만 누멜라는 케일리가 조르당보다 16년 앞서 수학계에 이 결과를 알렸다고 지적한다.
이후 발터 뒤크가 1882년에 자기 책에 케일리의 정리를 실었고[10] 번사이드의 책의 1897년 초판에서는 케일리의 정리를 증명한 사람이 뒤크라고 소개했다.[11]
증명
군 의 각 원소 에 대해 함수 를 로 정의하자. 이 함수는 역함수 을 지니므로, 위의 순열이고, 의 원소이다.
그러면 는 의 부분군으로서 와 동형이다. 이를 보이는 가장 빠른 방법은 함수 를 로 정의하는 것이다. 그러면 모든 에 대해
이므로,
가 되어, 가 군 준동형사상임을 알 수 있다.
또 준동형사상 는 단사인데, 왜냐하면 만약 라면 소거법칙에 의해 여야 하기 때문이다. 따라서 는 와 동형이다.
정칙표현
위 증명에서 를 의 정칙표현이라고 부른다. 또 를 의 왼쪽 정칙표현이라고 하는데, 로 정의되는 오른쪽 정칙표현을 사용해도 상관없다.
의 항등원은 항등순열에 대응하고, 나머지 모든 원소는 교란순열에 대응한다. 이는 그 원소의 위수보다 낮은 지수의 거듭제곱인 원소도 마찬가지이므로, 각 원소는 똑같은 길이를 가진 순환치환들의 곱이다. 이때 순환치환의 길이는 그 원소의 위수와 같다. 각 순환치환의 원소들은 그 원소가 생성하는 부분군의 왼쪽 잉여류를 이룬다.
예를 들어 대칭군 의 정칙표현은 다음과 같다.
| * | e | a | b | c | d | f | 순열 표현 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| e | e | a | b | c | d | f | e |
| a | a | e | d | f | b | c | (12)(35)(46) |
| b | b | f | e | d | c | a | (13)(26)(45) |
| c | c | d | f | e | a | b | (14)(25)(36) |
| d | d | c | a | b | f | e | (156)(243) |
| f | f | b | c | a | e | d | (165)(234) |