카르탕-디외도네 정리

틀:위키데이터 속성 추적 기하학 및 선형대수학에서, 카르탕-디외도네 정리(Cartan–Dieudonné定理, 틀:Llang)는 직교군의 원소를 반사들의 합성으로 나타내는 정리다.

정의

카르탕-디외도네 정리에 따르면, (임의의 표수의) 체 $K$에 대한 유한 $n$차원 벡터 공간 $V$ 위의 비퇴화 이차 형식

$Q:V\to K$

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• 직교군 $\mathrm{O}(V,Q)$의 원소들은 반사들의 합성으로 나타낼 수 있다. 즉, 임의의 $M\in \mathrm{O}(V,Q)$에 대하여,

  $Q(v_i)\ne 0(i=1,\dots ,n)$

  $M=R_{v_1}\circ \cdots R_{v_r}$

  인 유한 개의 벡터 $\{v_1,\dots ,v_r\}\subseteq V$들이 존재한다. 여기서, 비등방 벡터

  $v\in V$

  $Q(v)\ne 0$

  에 대한 반사는 다음과 같다.

  $R_v:V\to V$

  $R_v:u\mapsto u-\frac{Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}{Q(v)}v$

• $Q$는 크기 2의 유한체 ${𝔽}_2$에 대한 4차원 벡터 공간 $({𝔽}_2{)}^4$ 위의, 비트 지표가 2인 비퇴화 이차 형식 $x_1{x}_2+x_3{x}_4$과 동치가 아니다. 즉,
  • $K\cong ̸{𝔽}_2$이거나,
  • $K\cong {𝔽}_2$이며 $n\ne 4$이거나,
  • $K\cong {𝔽}_2$이며 $n=4$이며 $Q$의 비트 지표는 2가 아니다.

즉, 이차 형식의 동치 아래 유일한 반례 하나를 제외하면, 직교군의 원소는 항상 일련의 반사들의 합성으로 나타낼 수 있다. 유일한 반례의 표수는 2이다. 따라서, 표수가 2가 아닌 경우, 반례는 존재하지 않는다. 표수가 2가 아닌 경우, 다음 사실들이 추가로 성립한다.

• $\mathrm{O}(V,Q)$의 모든 원소들은 $n$개 이하의 반사들의 합성이다.틀:Rp틀:Rp
• $M\in \mathrm{O}(V,Q)$을 반사들의 합성으로 나타내었을 때, 반사들의 수는 항상 $n-\dim \ker (1-M)$ 이상이다.틀:Rp 특히, $M$의 고정점이 $0\in V$밖에 없다면, $M$은 $n$개 미만의 반사들의 합성이 아니다.틀:Rp
• $M\in \mathrm{O}(V,Q)$이 $n$개의 반사의 합성이라고 하자. 그렇다면, 임의의 반사 $R$에 대하여,

  $M=R\circ R_2\circ \cdots \circ R_n={R_1}^{\prime }\circ \cdots R_{n^{\prime }-1}\circ R$

  인 반사 $R_2,\dots ,R_n$ 및 ${R_1}^{\prime },\dots ,R_{n^{\prime }-1}$들이 존재한다. 즉, 정확히 $n$개의 반사의 합성의 경우, 처음 또는 마지막 반사를 임의로 고를 수 있다.틀:Rp

유클리드 공간

유클리드 공간 ${ℝ}^n$의 (표준적인 이차 형식 $x_1^2+\cdots +x_n^2$에 대한) 직교군 $\mathrm{O}(n)$을 생각하자. 카르탕-디외도네 정리에 따라, $\mathrm{O}(n)$의 원소들은 (원점을 고정하는) $n$개 이하의 반사들의 합성이다. $\mathrm{O}(n)$의 원소는 ${ℝ}^n$의 등거리 변환을 이루며, 원점을 고정한다. 반대로, 고정점을 갖는 ${ℝ}^n$의 등거리 변환은 그 고정점을 원점으로 하는 정규 직교 기저를 잡아 $\mathrm{O}(n)$의 원소로 여길 수 있다. 따라서, $x$를 고정점으로 하는 ${ℝ}^n$의 등거리 변환들은 ($x$를 고정하는) $n$개 이하의 반사들의 합성이다.

유클리드 공간 ${ℝ}^n$의 유클리드 군

$\mathrm{IO}(n)={ℝ}^n⋊\mathrm{O}(n)$

을 생각하자. 이는 ${ℝ}^n$의 임의의 등거리 변환들로 구성된다. 임의의 등거리 변환에 적절한 평행 이동을 합성하여 원점의 상을 원점으로 돌려 보내면, 원점을 고정하는 등거리 변환을 얻는다. 즉, $\mathrm{IO}(n)$의 원소는 $\mathrm{O}(n)$의 원소와 평행 이동의 합성이다. 그런데 $\mathrm{O}(n)$의 원소는 원점을 고정하는 $n$개 이하의 반사들의 합성이며, 임의의 평행 이동은 항등 함수이거나, 어떤 두 서로 다른 반사의 합성이다. 또한, $n$개의 반사의 합성의 경우, 처음 오는 반사는 평행 이동을 나타내는 반사와 만나 없어지도록 고를 수 있다. 따라서, $\mathrm{IO}(n)$의 원소들은 $n+1$개 이하의 반사들의 합성이다.

역사

19세기 초 엘리 카르탕이 실수체와 복소수체에 대하여 증명하였다.틀:Rp 카르탕의 증명은 그의 1938년 저서에 실려 있다. 이후 장 디외도네가 임의의 체에 대하여 증명하였다.틀:Rp