축소 판정법

틀:위키데이터 속성 추적 대수학에서, 축소 판정법(縮小判定法, 틀:Llang)은 정수 계수 다항식이 더 낮은 차수의 두 정수 계수 다항식의 곱으로 나타낼 수 없을 충분 조건을 제시하는 정리이다.

정의

두 정역 $R,S$ 및 환 준동형 $\varphi :R\to S$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $\varphi$는 자연스럽게 다항식환 사이의 환 준동형

$\tilde{\varphi }:R[x]\to S[x]$

$\tilde{\varphi }:r\mapsto \varphi (r)\mathrm{\forall }r\in R$

$\tilde{\varphi }:x\mapsto x$

로 확장될 수 있다. 이제, $R,S$의 분수체를 각각 $\mathrm{Frac}R$와 $\mathrm{Frac}S$라고 하고, 다항식 $p\in R[x]$가 다음을 만족시킨다고 하자.

• $\mathrm{deg}\tilde{\varphi }(p)=\mathrm{deg}p$
• $\tilde{\varphi }(p(x))$는 $(\mathrm{Frac}S)[x]$의 기약 다항식이다.

축소 판정법에 따르면, $p(x)$는 더 낮은 차수의 두 $R$ 계수의 다항식의 곱으로 나타낼 수 없다. 만약 $R$가 유일 인수 분해 정역일 경우, $p(x)$는 $(\mathrm{Frac}R)[x]$의 기약 다항식이다.틀:Rp

증명

귀류법을 사용하여,

$p(x)=q(x)r(x)$

$\mathrm{deg}q,\mathrm{deg}r\ge 1$

인 $q,r\in R[x]$가 존재한다고 가정하자. 그렇다면,

$\tilde{\varphi }(p(x))=\tilde{\varphi }(q(x))\tilde{\varphi }(r(x))$

이다. 또한,

$\mathrm{deg}q+\mathrm{deg}r=\mathrm{deg}p=\mathrm{deg}\tilde{\varphi }(p)=\mathrm{deg}\tilde{\varphi }(q)+\mathrm{deg}\tilde{\varphi }(r)$

$\mathrm{deg}\tilde{\varphi }(q)\le \mathrm{deg}q$

$\mathrm{deg}\tilde{\varphi }(r)\le \mathrm{deg}r$

이므로,

$\mathrm{deg}\tilde{\varphi }(q)=\mathrm{deg}q\ge 1$

$\mathrm{deg}\tilde{\varphi }(r)=\mathrm{deg}r\ge 1$

이다. 이는 $\tilde{\varphi }(p)\in (\mathrm{Frac}S)[x]$가 기약 다항식인 데 모순이다.