준파라콤팩트 공간

틀:위키데이터 속성 추적 일반위상수학에서, 준파라콤팩트 공간(準-空間, 틀:Llang)은 파라콤팩트 공간의 개념의 변형이다.

정의

위상 공간 $X$의 집합족 $𝒮\subseteq 𝒫(X)$에 대하여, 다음 조건들을 정의할 수 있다.

• 만약 임의의 $x\in X$에 대하여, $|\{S\in 𝒮:U_x\cap S\ne \varnothing \}|\le 1$인 근방 $U_x\ni x$가 존재한다면, $𝒮$를 이산 집합족(離散集合族, 틀:Llang)이라고 한다.
• 만약 임의의 $x\in X$에 대하여, $\{S\in 𝒮:U_x\cap S\ne \varnothing \}$이 유한 집합인 근방 $U_x\ni x$가 존재한다면, $𝒮$를 국소 유한 집합족(局所有限集合族, 틀:Llang)이라고 한다.
• 만약 임의의 ${𝒮}^{\prime }\subseteq 𝒮$에 대하여 $\bigcup _{S^{\prime }\in {𝒮}^{\prime }}\mathrm{cl}{S}^{\prime }$이 닫힌집합이라면, $𝒮$를 폐포 보존 집합족(閉包保存集合族, 틀:Llang)이라고 한다.

모든 이산 집합족은 국소 유한 집합족이다. 모든 국소 유한 집합족은 폐포 보존 집합족이다.

만약 $𝒮$가 가산 개의 국소 유한 집합족들의 합집합이라면, $𝒮$를 σ-국소 유한 집합족(틀:Llang)이라고 한다. 이 경우, 설령 $𝒮$가 덮개이더라도 합집합을 취하는 국소 유한 집합족들이 덮개일 필요는 없다. 마찬가지로, σ-이산 집합족(틀:Llang)과 σ-폐포 보존 집합족(틀:Llang)을 정의할 수 있다.

위상 공간 $X$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $X$를 준파라콤팩트 공간이라고 한다.

• $X$의 임의의 열린 덮개는 σ-이산 닫힌 세분을 갖는다.
• $X$의 임의의 열린 덮개는 σ-국소 유한 닫힌 세분을 갖는다.
• $X$의 임의의 열린 덮개는 σ-폐포 보존 닫힌 세분을 갖는다.

성질

정칙 공간에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 파라콤팩트 공간이다.
• 모든 열린 덮개는 σ-이산 열린 세분을 갖는다.
• 모든 열린 덮개는 σ-국소 유한 열린 세분을 갖는다.틀:Rp
• 모든 열린 덮개는 σ-폐포 보존 열린 세분을 갖는다.
• 모든 열린 덮개는 폐포 보존 열린 세분을 갖는다.
• 모든 열린 덮개는 국소 유한 세분을 갖는다.틀:Rp (이 조건에서 세분은 열린 세분일 필요가 없다.)
• 모든 열린 덮개는 폐포 보존 세분을 갖는다.
• 모든 열린 덮개는 국소 유한 닫힌 세분을 갖는다.틀:Rp

정칙 하우스도르프 공간의 경우, 다음 조건이 추가로 동치이다.

• 모든 열린 덮개는 폐포 보존 닫힌 세분을 갖는다.틀:Rp

이에 따라, 모든 파라콤팩트 정칙 공간은 준파라콤팩트 공간이다. 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다 (틀:Llang). 모든 집합족적 정규 준파라콤팩트 공간은 파라콤팩트 공간이다. 그 밖에, 다음 함의 관계들이 성립한다.

• 가산 콤팩트 준파라콤팩트 공간은 콤팩트 공간이다.
• 완전 정규 메타콤팩트 공간은 준파라콤팩트 공간이다.

닫힌 연속 함수 $f:X\to Y$에 대하여, 만약 $X$가 준파라콤팩트 공간이라면 $f(X)$ 역시 준파라콤팩트 공간이다. 완전 사상(틀:Llang) $f:X\to Y$에 대하여, 만약 $X$가 정칙 공간이며 $Y$가 준파라콤팩트 공간이라면 $X$ 역시 준파라콤팩트 공간이다. 만약 위상 공간 $X$가 가산 개의 준파라콤팩트 닫힌집합들의 합집합이라면 $X$ 역시 준파라콤팩트 공간이다.

외부 링크

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