제곱근 5

틀:위키데이터 속성 추적 제곱근 5 또는 루트 5 또는 5의 양의 제곱근은 자기 자신과 곱하여 루트 25가 되는 양의 실수이다. $\sqrt{5}$로 표기한다.

5의 제곱근은 자기 자신과 곱하여 루트 25가 되는 실수이다. 5의 양의 제곱근과 5의 음의 제곱근이 있으며, $\pm \sqrt{5}$로 표기한다.

5의 제곱근은 기약분수로 나타낼 수 없는 무리수이다.

실제 5의 제곱근의 값은 순환되지 않는 무한소수로 소수점이하 59자리까지의 근삿값은 다음과 같다.

$2.23606797749978969640917366873127623544061835961152572427089\cdots$

제곱식을 사용한 표현

$\begin{array}{cc}\sqrt{5}& =3-10{(\frac{1}{5}+{(\frac{1}{5}+{(\frac{1}{5}+{(\frac{1}{5}+\cdots )}^2)}^2)}^2)}^2\\ & =\frac{9}{4}-4{(\frac{1}{16}-{(\frac{1}{16}-{(\frac{1}{16}-{(\frac{1}{16}-\cdots )}^2)}^2)}^2)}^2\\ & =\frac{9}{4}-5{(\frac{1}{20}+{(\frac{1}{20}+{(\frac{1}{20}+{(\frac{1}{20}+\cdots )}^2)}^2)}^2)}^2\end{array}$

황금비 입니다

$\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\phi$

피보나치 수

$n$번째 피보나치 수 $F_n$은

$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\{{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n\}=\frac{(1+\sqrt{5}{)}^n-(1-\sqrt{5}{)}^n}{2^n\sqrt{5}}$

다중근호

$\sqrt{5}$와 다중근호

$\sqrt{5}=\sqrt[3]{5\sqrt[3]{5\sqrt[3]{5\sqrt[3]{5\sqrt[3]{5\sqrt[3]{5\sqrt[3]{5\sqrt[3]{5\dots }}}}}}}}$

$\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+...}}}}}=\frac{\sqrt{21}+1}{2}=1+\sqrt{5-\sqrt{5-\sqrt{5-\sqrt{5-\sqrt{5-...}}}}}$

라마누잔의 공식

라마누잔의 공식을 사용한 표현

$x+n+a=\sqrt{ax+(n+a{)}^2+x\sqrt{a(x+1n)+(n+a{)}^2+(x+1n)\sqrt{a(x+2n)+(n+a{)}^2+(x+2n)\sqrt{a(x+3n)+(n+a{)}^2+(x+3n)\sqrt{\cdots }}}}}$

$a=0,n=1$일때,

$x+1=\sqrt{1+x\sqrt{1+(x+1)\sqrt{1+(x+2)\sqrt{1+\cdots }}}}$

$5=4+1=\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{1+7\sqrt{1+8\sqrt{1+\cdots }}}}}}$

따라서,

$\sqrt{5}=\sqrt{\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{1+7\sqrt{1+8\sqrt{1+\cdots }}}}}}}$

라마누잔의 $R_5$

$\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5-\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5-\cdots }}}}}}}=\frac{2+\sqrt{5}+\sqrt{15-6\sqrt{5}}}{2}$

같이 보기

• 황금비
• 다중근호