다중근호

틀:위키데이터 속성 추적 다중근호(多重根號, 틀:Lang)는 루트 근호안에 1개이상의 루트 근호를 포함하는 루트를 말한다.

다중근호는 고차방정식의 해, 수학 상수 등을 표현할 때 중요하게 사용된다.

다중근호의 종류로는 이중근호, 다중근호, 중첩근호 등이 있다.

이중근호

루트 근호안에 1개의 루트 근호를 포함한다.

$\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}$

다중근호

루트 근호안에 2개이상의 루트 근호를 포함한다.

$\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b}{)}^2},\sqrt{(\sqrt{a}{)}^2+(\sqrt{b}{)}^2+2\sqrt{ab}}$

중첩근호

루트 근호안에 루트 근호를 갖는 수식이 반복해서 중첩되게 내재한다.

$\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1...}}}}}$

$\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{1+\cdots }}}}}}$

다중근호의 계산

$\sqrt{\sqrt{(a{)}^2}+\sqrt{(b{)}^2}+2\sqrt{ab}}=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})+2\sqrt{ab}}=\sqrt{{(\sqrt{a}+\sqrt{b})}^2}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$

$\sqrt[4]{\frac{3+2\sqrt[4]{5}}{3-2\sqrt[4]{5}}}=\frac{\sqrt[4]{5}+1}{\sqrt[4]{5}-1}=\frac{1}{2}(3+\sqrt[4]{5}+\sqrt{5}+\sqrt[4]{125})$

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{2}-1}=\sqrt[3]{\frac{1}{9}}-\sqrt[3]{\frac{2}{9}}+\sqrt[3]{\frac{4}{9}}$

$\sqrt{a}+\sqrt{a}=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{a}{)}^2}=\sqrt{(\sqrt{a}{)}^2+(\sqrt{a}{)}^2+2\sqrt{aa}}=\sqrt{(a+a)+2\sqrt{a^2}}=\sqrt{(a+a)+2a}=\sqrt{2a+2a}=\sqrt{4a}=2\sqrt{a}$

$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=\sqrt{(a+b+c)+2(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc})}=\sqrt{{\sqrt{a}}^2+{\sqrt{b}}^2+{\sqrt{c}}^2+2\sqrt{ab}+2\sqrt{ac}+2\sqrt{bc}}=\sqrt{{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}^2}=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}$

고차방정식의 해

3차방정식이상의 일반적인 근에서 다중근호가 사용된다. 다음은 4차방정식의 근의 공식이다.

$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0$

$x=-\frac{b}{4a}+\left(\frac{\sqrt{p+2t_1}+\sqrt{-3p-2t_1-\frac{2q}{\sqrt{p+2t_1}}}}{2a}\right),-\frac{b}{4a}+\left(\frac{\sqrt{p+2t_1}-\sqrt{-3p-2t_1-\frac{2q}{\sqrt{p+2t_1}}}}{2a}\right)$

$,-\frac{b}{4a}-\left(\frac{\sqrt{p+2t_1}+\sqrt{-3p-2t_1-\frac{2q}{\sqrt{p+2t_1}}}}{2a}\right),-\frac{b}{4a}-\left(\frac{\sqrt{p+2t_1}-\sqrt{-3p-2t_1-\frac{2q}{\sqrt{p+2t_1}}}}{2a}\right)$

중첩근호와 일반식

무한한 중첩근호는 일반식으로 표현될 수 있다.

$\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1...}}}}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\phi$ 황금비

$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2...}}}}}=\frac{\sqrt{9}+1}{2}=2$

$\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3...}}}}}=\frac{\sqrt{13}+1}{2}$

$\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4...}}}}}=\frac{\sqrt{17}+1}{2}$

$\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5...}}}}}=\frac{\sqrt{21}+1}{2}$

$\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6...}}}}}=\frac{\sqrt{25}+1}{2}$

$\sqrt{7+\sqrt{7+\sqrt{7+\sqrt{7+\sqrt{7...}}}}}=\frac{\sqrt{29}+1}{2}$

$\sqrt{8+\sqrt{8+\sqrt{8+\sqrt{8+\sqrt{8...}}}}}=\frac{\sqrt{33}+1}{2}$

따라서 이것을 일반화하면,

$\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n...}}}}}=\frac{\sqrt{((4\cdot n)+1)}+1}{2}$

한편,

$x^2-x-1=0$을 예약해보면

$\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ (근의 공식)

$\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-1)}}{2}$

$\frac{1\pm \sqrt{1+4}}{2}$

$\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$

이고, 따라서,

$\sqrt{c+\sqrt{c+\sqrt{c+\sqrt{c+\sqrt{c...}}}}}$

$=\frac{\sqrt{((4\cdot c)+1)}+1}{2}$

$x^2-x-c=0$이다.

루트와 중첩근호

$\sqrt{1}=\sqrt[3]{1\sqrt[3]{1\sqrt[3]{1\sqrt[3]{1\sqrt[3]{1\sqrt[3]{1\sqrt[3]{1\sqrt[3]{1\dots }}}}}}}}$

$\sqrt{2}=\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2\dots }}}}}}}}$

$\sqrt{3}=\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\dots }}}}}}}}$

$⋮$

$\sqrt{7}=\sqrt[3]{7\sqrt[3]{7\sqrt[3]{7\sqrt[3]{7\sqrt[3]{7\sqrt[3]{7\sqrt[3]{7\sqrt[3]{7\dots }}}}}}}}$

$\sqrt{8}=\sqrt[3]{8\sqrt[3]{8\sqrt[3]{8\sqrt[3]{8\sqrt[3]{8\sqrt[3]{8\sqrt[3]{8\sqrt[3]{8\dots }}}}}}}}$

$⋮$

따라서 이것을 일반화 하면,

$\sqrt{x}=\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\dots }}}}$

그리고 이것을 확장하면,

$x^{\frac{1}{(n-1)}}=\sqrt[n]{x\sqrt[n]{x\sqrt[n]{x\sqrt[n]{x\dots }}}}$

자연수와 중첩근호

$2=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots }}}}}}}}$

$3=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\dots }}}}}}}}$

$4=\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\dots }}}}}}}}$

$⋮$

$8=\sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+\dots }}}}}}}}$

$⋮$

따라서, 이것을 일반화하면,

$x=\sqrt{(x\cdot (x-1))+\sqrt{(x\cdot (x-1))+\sqrt{(x\cdot (x-1))+\sqrt{(x\cdot (x-1))+\dots }}}}(x>1,x=integer)$

$x=\sqrt{(x^2-x)+\sqrt{(x^2-x)+\sqrt{(x^2-x)+\sqrt{(x^2-x)+\dots }}}}$

한편, 이것을 일반식으로 표현하면,

${\left(x\right)}^2-\left(x\right)$에서 $x$ 이고,

$\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n...}}}}}=\frac{\sqrt{((4\cdot n)+1)}+1}{2}$이므로,

$x=\sqrt{{\left(x\right)}^2-\left(x\right)+\sqrt{{\left(x\right)}^2-\left(x\right)+\sqrt{{\left(x\right)}^2-\left(x\right)+\sqrt{{\left(x\right)}^2-\left(x\right)+\sqrt{{\left(x\right)}^2-\left(x\right)...}}}}}$

$=\frac{\sqrt{((4\cdot (x^2-x))+1)}+1}{2}$

$=\frac{\sqrt{4x^2-4x+1}+1}{2}$

$=\frac{\sqrt{(2x-1{)}^2}+1}{2}$

$=\frac{(2x-1)+1}{2}=x$이다.

라마누잔의 중첩근호 공식

$x+n+a=\sqrt{ax+(n+a{)}^2+x\sqrt{a(x+1n)+(n+a{)}^2+(x+1n)\sqrt{a(x+2n)+(n+a{)}^2+(x+2n)\sqrt{a(x+3n)+(n+a{)}^2+(x+3n)\sqrt{\cdots }}}}}$

$a=0,n=1$일때,

$x+1=\sqrt{1+x\sqrt{1+(x+1)\sqrt{1+(x+2)\sqrt{1+\cdots }}}}$

$3=2+1=\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{1+\cdots }}}}}}$

같이 보기

• 제곱근의 연산

참고

• 매스월드
• (Ramanujan 1911)Ramanujan, S. Question No. 298. J. Indian Math. Soc. 1911.
• (Ramanujan 2000)Ramanujan, S. Collected Papers of Srinivasa Ramanujan (Ed. G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar, and B. M. Wilson). Providence, RI: Amer. Math. Soc., p. 327, 2000.