이중 장론

틀:위키데이터 속성 추적 이론물리학에서 이중 장론(二重場論, 틀:Llang, DFT)은 끈 이론에서 유래하는 고전적 중력 이론의 일종이다. 이 이론은 중력장과 2차 미분 형식 게이지장을 포함하며, T-이중성을 만족시킨다. T-이중성을 만족시키기 위하여, $d$차원 시공간을 묘사하기 위하여 $2d$차원의 매끄러운 다양체를 사용한다.

전개

시공간

일반적으로, 다음과 같은 데이터를 생각하자.

• $D$차원 실수 벡터 공간 $V$ 및 그 위의 비퇴화 이차 형식 $\eta :V\to ℝ$
• 두 리 군 $H\le G\le \mathrm{GL}(V;ℝ)$. 또한, 다음 가환 그림이 성립한다고 하자.

  $\begin{array}{ccc}H& \to & G\\ \downarrow & & \downarrow \\ \mathrm{O}(V,\eta )& \to & \mathrm{GL}(V;ℝ)\end{array}$

• $D$차원 매끄러운 다양체 $M$ 및 그 접다발의 구조군 $G$. 즉, 어떤 $G$-주다발 (틀다발) $F_G$ 및 벡터 다발의 동형 사상 $F_G{\times }_G{ℝ}^N\to \mathrm{T}M$이 주어져 있다.
• 접다발의, $H$로의 구조 축소. 즉, $H$-주다발 $F_H$ 및 벡터 다발의 동형 사상 $E:F_H{\times }_{H}V\to \mathrm{T}M$.

$M$의 접다발 지표를 $M,N,\dots$, $V$의 지표를 $A,B,\dots$로 표기하면, $E$의 데이터는 각 점에서 국소적으로 다음과 같다.

${\mathrm{T}}_{x}M\to V$

$X^M\mapsto E_M^A{X}^M$

이제, $E$는 다음과 같은 준 리만 다양체 구조 $G_{MN}$를 정의한다. (그 부호수는 $\eta$의 부호수와 같다.)

$G_{MN}={\eta }_{AB}{E}_M^A{E}_N^B$

이제, $E$에 다음과 같은 $H$-게이지 대칭을 부여하자.

$E^A{}_M\mapsto T^A{}_B{E}_M^B(T\in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(M,H))$

그렇다면, $E$는 각 점에서 물리적으로 동차 공간

$\frac{G}{H}$

의 원소를 나타내게 된다. 또한, 계량 텐서 $G_{MN}$는 ($H\le \mathrm{O}(V,Q)$이므로) 게이지 불변이다.

이제, 위 구성에서 다음과 같은 특수한 경우를 생각할 수 있다.

이론	$G$	$H$	${\dim }_{ℝ}(G/H)$	물리적 해석
일반 상대성 이론	$\mathrm{GL}(D;ℝ)$	$\mathrm{O}(1,D-1)$	$D(D+1)/2$	로런츠 계량 텐서 $G_{MN}$
이중 장론 ($D=2d$)	$\mathrm{O}(d,d)$	$\mathrm{O}(1,d-1)\times \mathrm{O}(1,d-1)$	$d^2$	$d$차원 계량 텐서 및 $d$차원 2차 미분 형식

즉, $G/H=\mathrm{GL}(D)/\mathrm{O}(1,D-1)$인 경우는 $D$차원 일반 상대성 이론의 필바인에 해당한다. 반면, $G/H=\mathrm{O}(d,d)/\mathrm{O}(1,d-1{)}^2$인 경우, 이는 $d^2$개의 성분을 가지며, 이는 $d\times d$ 대칭 행렬(중력장)과 $d\times d$ 반대칭 행렬(캘브-라몽 장)로 분해될 수 있다.

계량의 분해

구체적으로, 필바인 $E_M^A$에 의하여 정의되는 계량 텐서

$G_{MN}={\eta }_{AB}{E}_M^A{E}_N^B$

를 생각하자. 물리적으로, 이는 중력장과 캘브-라몽 장을 나타낸다.

편의상, ${\eta }_{AB}$를 다음과 같이 만드는 게이지를 선택하자.

$\eta =\left(\begin{array}{cc}0& 1_{d\times d}\\ 1_{d\times d}& 0\end{array}\right)$

즉, 이는 분해

$V=V_{+}\oplus V_{-}$

$\dim V_{+}=\dim V_{-}=d$

${\eta }_{\pm }:V_{\pm }\to V_{\mp }^{*}$

를 정의한다. (물론, 이러한 게이지는 일반적으로 유일하지 않다.)

$V$는 매끄러운 다양체 $M$의 국소 모형이므로, 이는 마찬가지로 각 점에서 접공간 ${\mathrm{T}}_{x}M$의 마찬가지 분해

$\mathrm{T}M={\mathrm{T}}^{+}M\oplus {\mathrm{T}}^{-}M$

를 정의한다.

이러한 게이지에서, $\mathrm{O}(d,d)$의 원소

$H^N{}_P\in \mathrm{O}(d,d)$

${\eta }_{MN}{H}^N{}_P=\left(\begin{array}{cc}{g}^{-1}& -g^{-1}b\\ b{g}^{-1}& g-b{g}^{-1}b\end{array}\right)\in \mathrm{O}(d,d)$

를 정의할 수 있다. 여기서, $g$는 중력장을 나타내며, $b$는 2차 미분 형식인 캘브-라몽 장이다.

이 시공간에서는 일반적으로 공변 미분이 존재하지 않는다. 더 엄밀히 말하자면, $\eta$ 및 $H$와 호환되는 코쥘 접속의 개념을 도입할 수 있지만,틀:Rp 크리스토펠 기호의 모든 성분이 물리학적 의미를 갖는 일반 상대성 이론과 달리 이 접속은 물리학적으로 결정되지 않는 성분들을 포함하며,틀:Rp 이에 따라 임의의 선택이 필요하다. 이에 대한 리만 곡률도 마찬가지다.

필바인

일반 상대성 이론과 마찬가지로, 다음과 같이 필바인을 도입할 수 있다.틀:Rp 필바인은 다음과 같은 동차 공간의 원소이다.

$E\in \frac{\mathrm{O}(d,d)}{\mathrm{O}(1,D-1)\times \mathrm{O}(1,d-1)}$

여기서 $\mathrm{O}(1,d-1)\times \mathrm{O}(1,d-1)$은 $\mathrm{O}(d,d)$의 블록 대각 행렬 부분군이다.

즉, 이는 대표원

$E_M^A\in \mathrm{O}(d,d)$

에 의하여 결정되며, 이는 게이지 변환

$E_M^A\mapsto L^A{}_B{E}_M^A(L^A{}_B\in \mathrm{O}(1,D-1)\times \mathrm{O}(1,D-1))$

을 겪는다. 여기서 $A,B,\dots$는 필바인 지표를 뜻한다. 이 대표원에 대응되는 리만 계량 텐서는

$H_{MN}=E^A{}_M{H}_{AB}{E}^B{}_N$

이다.

필바인이 주어졌다면, 다음과 같은 일반화 바이첸뵈크 접속(틀:Llang)을 정의할 수 있다.틀:Rp

${\mathrm{\Omega }}_{ABC}=-{\mathrm{\Omega }}_{ACB}=E_A{}^M{\partial }_M(E_B{}^N{E}_C{}^P{\eta }_{PN})$

작용

이중 장론에서는 다음과 같은 작용을 사용한다.틀:Rp

$S=\int {\mathrm{d}}^{2D}x\exp (-2\varphi )(S_1+S_2)$

여기서

$S_1=9{\mathrm{\Omega }}_{[ABC]}{\mathrm{\Omega }}_{[DEF]}(\frac{1}{4}{H}^{AD}{\eta }^{BE}{\eta }^{CF}-\frac{1}{12}{H}^{AD}{H}^{BE}{H}^{CF}-\frac{1}{6}{\eta }^{AD}{\eta }^{BE}{\eta }^{CF})+\exp (2\varphi )({\eta }^{AB}-H^{AB})$

$S_2=F_A{F}_B({\eta }^{AB}-H^{AB})$

$F_A={\eta }^{BC}{\mathrm{\Omega }}_{BCA}+2E_A{}^M{\partial }_M\varphi$

여기서 $\varphi$는 딜라톤 스칼라장이다. 이는 $M$ 위의, $\mathrm{O}(d,d)$ 구조를 보존하는 미분 동형 사상들을 대칭으로 갖는다.

장방정식

위 작용의 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.틀:Rp

$S_1=0$

$2(H^{C[A}-{\eta }^{D[C}){\partial }^{B]}{F}_C+(F_C-\partial -C)F^{C[AB]}+F^{CD[A}{F}_{CDE}{\eta }^{B]E}=0$

이들은 각각 $\varphi$ 및 $E_A{}^M$에 대한 오일러-라그랑주 방정식이다.

단면 조건

$M$ 위의 장들은 $2d$ 차원의 매끄러운 다양체 위에 정의된다. 실제 시공간은 $d$차원이므로, 올바른 수의 자유도를 갖추기 위하여 조건을 부여해야 한다. 이는 단면 조건(틀:Llang)이라고 하며, 스칼라장 $\mathrm{\Phi }$에 대하여 다음과 같은 꼴이다.틀:Rp

${\eta }^{MN}{\partial }_M{\partial }_N\mathrm{\Phi }=0$

역사

워런 시걸(틀:Llang)이 1993년에 도입하였다.

외부 링크

• 틀:Nlab
• 틀:Nlab