없앨 수 있는 특이점

x = 2에서 없앨 수 있는 특이점을 갖는 포물선의 그래프

복소해석학에서, 정칙함수의 없앨 수 있는 특이점이란 그 점에서 함수가 정의되어 있지는 않지만, 결과적으로 함수가 그 점의 근방에서 정칙이 되도록 정의될 수 있는 점을 말한다.

예를 들어, (정규화되지 않은) 싱크함수

$\text{sinc}(z)=\frac{\sin z}{z}$

는 z = 0을 특이점으로 갖는다. 이 특이점은 $\text{sinc}$의 z가 0으로 갈 때의 극한인, $\text{sinc}(0):=1$으로 정의함으로써 제거될 수 있다. 결과로 얻은 함수는 정칙함수이다. 이 경우 문제는 $\text{sinc}$가 부정형으로 주어졌기 때문에 초래되었다.. 해당 특이점 주변에서 $\frac{\sin (z)}{z}$에 대한 거듭제곱 전개를 취하면

$\text{sinc}(z)=\frac{1}{z}\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{z}^{2k+1}}{(2k+1)!}\right)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{z}^{2k}}{(2k+1)!}=1-\frac{z^2}{3!}+\frac{z^4}{5!}-\frac{z^6}{7!}+\cdots .$

형식적으로, 만일 $U\subset ℂ$가 복소평면 $ℂ$의 열린 부분집합이고, $a\in U$ 가 $U$의 점이며, $f:U\setminus \{a\}\to ℂ$가 정칙함수일 때, $U\setminus \{a\}$에서 $f$와 일치하는 정칙함수 $g:U\to ℂ$가 있으면, $a$를 없앨 수 있는 특이점이라 한다. 이때, 그러한 $g$가 존재하면, $f$는 $U$ 위에 정칙적으로 확장 가능하다고 한다.

리만의 정리

없앨 수 있는 특이점에 대한 리만의 정리는 다음과 같다.

정리. $D\subset ℂ$가 복소평면의 열린 부분집합이고, $a\in D$가 $D$의 점이며 $f$가 집합 $D\setminus \{a\}$에서 정의된 정칙함수라 하자. 그러면 다음은 동치이다:

1. $f$가 $a$로 정칙적으로 확장 가능하다.
2. $f$가 $a$로 연속적으로 확장 가능하다.
3. $f$가 유계인 $a$의 근방이 존재한다.
4. $\underset{z\to a}{\lim }(z-a)f(z)=0$.

1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4의 함의는 자명하다. 4 ⇒ 1를 증명하기 위해, $a$에서의 정칙성이 $a$에서 해석적인 것과 동치임을 상기하자(증명), 즉 거듭제곱급수 표현을 갖는다는 것이다. 다음을 정의하자.

$h(z)=\{\begin{array}{cc}(z-a{)}^{2}f(z)& z\ne a,\\ 0& z=a.\end{array}$

분명히, h는 D -{a}에서 정칙이고, (4)에 의해 다음이 존재한다.

$h^{\prime }(a)=\underset{z\to a}{\lim }\frac{(z-a{)}^{2}f(z)-0}{z-a}=\underset{z\to a}{\lim }(z-a)f(z)=0$

따라서 h는 D에서 정칙이고 a에 대한 테일러 급수 표현을 갖는다.

$h(z)=c_0+c_1(z-a)+c_2(z-a{)}^2+c_3(z-a{)}^3+\cdots .$

c₀ = h(a) = 0이고 c₁ = h틀:'(a) = 0이므로

$h(z)=c_2(z-a{)}^2+c_3(z-a{)}^3+\cdots .$

따라서, z ≠ a일 때, 다음을 얻는다.

$f(z)=\frac{h(z)}{(z-a{)}^2}=c_2+c_3(z-a)+\cdots .$

그런데,

$g(z)=c_2+c_3(z-a)+\cdots .$

는 D에서 정칙이므로, f의 확장이다.

다른 종류의 특이점

실변수 함수와 달리, 정칙함수는 충분히 그들의 특이점을 완전히 분류할 수 있을만큼 굳다. 정칙함수의 특이점은 실제로는 전혀 특이점이 아닌, 즉 없앨 수 있는 특이점이거나, 다음의 두 종류 중 하나이다.

1. 리만의 정리에 비추어, 없앨 수 없는 특이점이 주어지면, $\underset{z\to a}{\lim }(z-a{)}^{m+1}f(z)=0$인 자연수 $m$이 존재하는지 물을 수도 있을 것이다. 만일 그렇다면, $a$를 $f$의 극점이라 하고, 가장 작은 $m$을 $a$의 위수라 한다. 그러므로 없앨 수 있는 특이점은 정확히 위수가 0인 극점이다. 정칙함수는 이것의 또다른 극점을 균일하게 폭발한다.
2. 만일 $f$의 고립특이점 $a$가 없앨 수 있는 특이점도, 극점도 아니면, 이를 본질적 특이점이라 한다. 피카르의 대정리는 그러한 $f$는 모든 구멍 뚫린 열린 근방 $U\setminus \{a\}$를 최대 한 점을 예외점으로 갖는 복소평면 전체로 사상함을 보여준다.

같이 보기

• 해석적 용량
• 없앨 수 있는 불연속점

외부 링크

• 수학 백과의 없앨 수 있는 특이점