이심률

틀:위키데이터 속성 추적 기하학에서 이심률(離心率, 틀:Llang)은 원뿔 곡선의 특성을 나타내는 값이다. 원뿔 곡선이 원에서 벗어나는 정도를 나타낸다고 볼 수 있다.

정의

원뿔곡선은 점(초점)과 선(준선)까지의 거리가 일정한 비율에 있는 점의 자취로 정의할 수 있다. 이 비율을 이심률이라고 하며 일반적으로 e로 표기한다. 또한 이중원뿔을 평면으로 잘랐을 때 생기는 곡선에서 이심률은

e = \frac{\sin β}{\sin α}, 0 < α < 9 0^{\circ}, 0 \leq β \leq 9 0^{\circ}

이고

여기서 α는 원뿔의 모선과 밑면의 사잇각이며 β는 자르는 평면과 밑면의 사잇각이다.

단면은 β=0일 때 원, β=α일 때 포물선이 된다. (단, 평면은 원뿔의 꼭짓점과 만나지 않아야 한다.)

c (또는 f, e)로 표기하는 타원이나 쌍곡선의 선형 이심률은 중심과 어느 한 초점 사이의 거리이다.

이심률은 반장축에 대한 선형 이심률의 비율로 정의할 수 있다. 즉,

e = \frac{c}{a}

(단, 중심이 없으면 포물선에 대한 선형 이심률이 정의되지 않는다.)

원뿔 곡선의 이심률의 가능한 범위는 다음과 같다. 여기서 직선 역시 이차곡선 중 일차직선이기에 정의될 수 있다.

두 원뿔 곡선의 이심률이 같다는 것은 두 원뿔 곡선이 서로 닮는다는 것과 동치이다.

원뿔 단면	방정식	이심률 ( e )	선형 이심률( c )
원	$x^{2} + y^{2} = r^{2}$	0	0
타원	$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 또는 $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ (단, a>b)	$\sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}}$	$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$
포물선	$x^{2} = 4 a y$	1	–
쌍곡선	$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 또는 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$	$\sqrt{1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}}$	$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

여기서 타원과 쌍곡선의 경우 a 는 긴반지름의 길이이고 b 는 짧은반지름의 길이이다.

$A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0$ 의 꼴로 원뿔곡선이 주어졌을 때,

이심률 $e = \sqrt{\frac{2 \sqrt{(A - C)^{2} + B^{2}}}{η (A + C) + \sqrt{(A - C)^{2} + B^{2}}}}$ 이고,

$[\begin{matrix} A & B / 2 & D / 2 \\ B / 2 & C & E / 2 \\ D / 2 & E / 2 & F \end{matrix}]$ 의 3x3 행렬의 행렬식 값이 음수이면 $η = 1$ ,

양수이면 $η = - 1$ 이다.