아핀 독립 집합

틀:위키데이터 속성 추적 아핀 기하학에서 아핀 독립 집합(틀:Lang獨立集合, 틀:Llang)은 모든 점이 남은 점들로 생성된 부분 아핀 공간에 속하지 않는 아핀 공간 속 점들의 집합이다.

정의

체 $K$ 위의 아핀 공간 $A$의 부분 집합 $I\subseteq A$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $I$를 $A$의 아핀 독립 집합이라고 한다.

• $I=\varnothing$이거나, $(i^{\prime }-i{)}_{i^{\prime }\in I\setminus \{i\}}$가 $V(A)$의 일차 독립 집합이 되는 $i\in I$가 존재한다.
• 임의의 $i\in I$에 대하여, $(i^{\prime }-i{)}_{i^{\prime }\in I\setminus \{i\}}$는 $V(A)$의 일차 독립 집합이다. (여기서 $V(-)$는 주어진 아핀 공간의 평행 이동으로 구성된 벡터 공간을 나타낸다.)
• 임의의 $i\in I$에 대하여, $i\in ̸{\mathrm{A}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}}_K(I\setminus \{i\})$이다. (여기서 ${\mathrm{A}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}}_K(-)$는 주어진 부분 집합으로 생성된 부분 아핀 공간을 나타낸다.)

아핀 독립 집합이 아닌 부분 집합을 아핀 종속 집합(틀:Lang從屬集合, 틀:Llang)이라고 한다. 이와 유사하게 아핀 독립 중복집합(틀:Lang獨立重復集合, 틀:Llang)과 아핀 종속 중복집합(틀:Lang從屬重復集合, 틀:Llang)을 정의할 수 있다.

성질

체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$의 부분 집합 $I\subseteq V$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $I$는 아핀 독립 집합이다.
• 임의의 서로 다른 원소 $i_1,\dots ,i_n\in I$ 및 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in K$에 대하여, 만약 ${\lambda }_1{i}_1+\cdots +{\lambda }_n{i}_n=0_V$이며 ${\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_n=0_K$라면, $0_K={\lambda }_1=\cdots ={\lambda }_n$이다.

체 $K$ 위의 아핀 공간 $A$의 유한 부분 집합 $I\subseteq A$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $I$는 아핀 독립 집합이다.
• ${\mathrm{A}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}}_K(I)$의 차원은 $|I|-1$이다.

예

벡터 공간의 모든 일차 독립 집합은 아핀 독립 집합이다. 아핀 공간 속의 공집합과 모든 한원소 집합, 두원소 집합은 아핀 독립 집합이다. 아핀 공간의 세원소 집합이 아핀 종속 집합일 필요충분조건은 공선점이다. 체 $K$ 위의 아핀 공간 $A$의 두 점 $a,b\in A$에 대하여, $\{a,b\}$가 아핀 독립 중복집합일 필요충분조건은 $a\ne b$이다.

같이 보기

• 아핀 틀

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용