아인슈타인 모형

틀:위키데이터 속성 추적 틀:통계역학 응집물질물리학에서 아인슈타인 모형(틀:Lang)은 고체를 양자 조화 진동자로 간주한 모형이다. 비교적 높은 온도에서는 정확하나, 매우 낮은 온도에서는 정확하지 않고, 대신 디바이 모형을 사용한다.

역사

알베르트 아인슈타인이 1906년 발표하였다. 이 논문을 통하여, 아인슈타인은 당시 발표된 지 얼마 되지 않은 양자역학을 사용하여 고체의 비열용량을 설명할 수 있음을 보였다.

전개

$N$개의 입자로 이루어져 있는 고체를 생각하자. 각 입자가 3차원 양자 조화 진동자 퍼텐셜 속에 위치해 있다고 가정하고, 에너지 양자를 $k{T}_{\text{E}}$로 쓰자. 여기서 $T_{\text{E}}$는 아인슈타인 온도(틀:Lang)라고 하며, 물질의 고유 성질이다.

1차원 양자 조화 진동자의 에너지 준위는

$E_n=(n+1/2)k{T}_{\text{E}}$ ($n=0,1,2,\dots$)

이므로, 고체의 바른틀 분배 함수는 다음과 같다.

$Z(T)={(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\exp (-(n+1/2)T_{\text{E}}/T))}^{3N}$

$={(2\sinh (T_{\text{E}}/2T))}^{-3N}$

이다.

고체의 내부 에너지는 다음과 같다.

$E(T)=-\frac{\partial \ln Z}{\partial \beta }$

$=\frac{3}{2}Nk{T}_{\text{E}}\coth (T_{\text{E}}/2T)$.

고체의 비열용량은 다음과 같다.

$c(T)=\frac{1}{Nk}\frac{\partial E}{\partial T}$

$=\frac{3}{4}(T_{\text{E}}/T{)}^2{\mathrm{csch}}^2(T_{\mathrm{E}}/2T)$.

낮은 온도와 높은 온도에서의 극한

아인슈타인 모형과 디바이 모형이 예측하는 비열의 비교. 아인슈타인 모형은 점선, 디바이 모형은 실선이다.

아인슈타인 온도보다 매우 높은 온도에서 아인슈타인 고체의 비열은

$c(T)\approx 3$

으로 뒬롱-프티 법칙에 부합한다. 반면 아인슈타인 온도보다 매우 낮은 온도에서는

$c(T)\approx 3(T_{\text{E}}/T{)}^2\exp (-T_{\mathrm{E}}/T)$

으로, 실제 고체보다 지나치게 작은 열용량을 예측한다.

외부 링크

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