디바이 모형

역사

피터 디바이가 1912년에 발표하였다.^[1]

부피가 $V$ 이고, $N$ 개의 입자로 이루어져 있는 결정을 생각하자. 결정 속 포논이 다음과 같은 선형 분산 관계를 가진다고 하자.

E = ℏ v ‖ 𝐤 ‖

.

여기서 $ℏ$ 는 디랙 상수, $v$ 는 결정 속 음속, $𝐤$ 는 포논의 파수 벡터이다. (물론 실제 포논의 분산 관계는 비선형이지만, $E$ 가 매우 작은 경우에는 분산 관계를 대략 선형으로 간주할 수 있다.)

결정의 크기가 $\sqrt[3]{V}$ 이므로, 정상파 파수는 다음과 같다.

k_{i} = π n_{i} / \sqrt[3]{V}

(

n = 1, 2, 3, 4, \dots, \sqrt[3]{N}

.

i = 1, 2, 3

).

포논은 보스-아인슈타인 통계를 따르고, 화학 퍼텐셜이 0이다 (즉, 퓨가시티가 1이다). 따라서 포논 기체의 큰 바른틀 분배 함수는 다음과 같다.

\ln Ξ (β) = - \sum_{n_{1} = 1}^{\sqrt[3]{N}} \sum_{n_{2} = 1}^{\sqrt[3]{N}} \sum_{n_{3} = 1}^{\sqrt[3]{N}} 3 \ln (1 - \exp (- β h v \sqrt{n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + n_{3}^{2}} / 2 \sqrt[3]{L}))

.

(여기서 $3$ 은 포논의 자유도의 수이다.)

\ln Ξ (β) = - 3 \int_{0}^{\sqrt[3]{N}} \int_{0}^{\sqrt[3]{N}} \int_{0}^{\sqrt[3]{N}} \ln (1 - \exp (- β h v ‖ 𝐧 ‖ / 2 \sqrt[3]{L}))) d^{3} 𝐧

\approx - \frac{3 π}{2} \int_{0}^{\sqrt[3]{6 N / π}} n^{2} \ln (1 - \exp (- β h v n / 2 \sqrt[3]{L})) d n

= - 9 N \int_{0}^{1} x^{2} \ln (1 - \exp (- x (T_{D} / T))) d x

.

여기서

T_{D} = \frac{h v}{k} \sqrt[3]{3 N / 4 π V}

를 디바이 온도(틀:Lang)라고 하고, 이에 대응하는 주파수

ν_{D} = v \sqrt[3]{3 N / 4 π V}

디바이 결정의 에너지는

E = - \frac{\partial}{\partial β} \ln Ξ

= 9 N k T_{D} \int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{\exp (x (T_{D} / T)) - 1} d x

= \frac{9 N k T^{4}}{T_{D}^{3}} \int_{0}^{T_{D} / T} \frac{y^{3}}{\exp y - 1} d y

이고, 그 비열용량은

c = \frac{1}{N k} \frac{d E}{d T}

= 9 T_{D}^{2} \int_{0}^{1} \frac{x^{4} \exp (x (T_{D} / T))}{T^{2} (\exp (x (T_{D} / T)) - 1)^{2}} d x

= 9 (T / T_{D})^{3} \int_{0}^{T_{D} / T} \frac{y^{4} \exp y}{(\exp y - 1)^{2}} d y

이다.