데겐의 여덟 제곱수 항등식

틀:위키데이터 속성 추적 데겐의 여덟 제곱수 항등식(Degen's eight-square identity, -數恒等式)은 덴마크 수학자 페르디난 데겐(Ferdinand Degen)의 이름이 붙은 항등식이다. 이하와 같은 구조를 갖고 있다:

(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + a_{4}^{2} + a_{5}^{2} + a_{6}^{2} + a_{7}^{2} + a_{8}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2} + b_{4}^{2} + b_{5}^{2} + b_{6}^{2} + b_{7}^{2} + b_{8}^{2}) =

(a_{1} b_{1} - a_{2} b_{2} - a_{3} b_{3} - a_{4} b_{4} - a_{5} b_{5} - a_{6} b_{6} - a_{7} b_{7} - a_{8} b_{8})^{2} +

(a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1} + a_{3} b_{4} - a_{4} b_{3} + a_{5} b_{6} - a_{6} b_{5} - a_{7} b_{8} + a_{8} b_{7})^{2} +

(a_{1} b_{3} - a_{2} b_{4} + a_{3} b_{1} + a_{4} b_{2} + a_{5} b_{7} + a_{6} b_{8} - a_{7} b_{5} - a_{8} b_{6})^{2} +

(a_{1} b_{4} + a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} + a_{4} b_{1} + a_{5} b_{8} - a_{6} b_{7} + a_{7} b_{6} - a_{8} b_{5})^{2} +

(a_{1} b_{5} - a_{2} b_{6} - a_{3} b_{7} - a_{4} b_{8} + a_{5} b_{1} + a_{6} b_{2} + a_{7} b_{3} + a_{8} b_{4})^{2} +

(a_{1} b_{6} + a_{2} b_{5} - a_{3} b_{8} + a_{4} b_{7} - a_{5} b_{2} + a_{6} b_{1} - a_{7} b_{4} + a_{8} b_{3})^{2} +

(a_{1} b_{7} + a_{2} b_{8} + a_{3} b_{5} - a_{4} b_{6} - a_{5} b_{3} + a_{6} b_{4} + a_{7} b_{1} - a_{8} b_{2})^{2} +

(a_{1} b_{8} - a_{2} b_{7} + a_{3} b_{6} + a_{4} b_{5} - a_{5} b_{4} - a_{6} b_{3} + a_{7} b_{2} + a_{8} b_{1})^{2}

이 항등식은 네 제곱수의 경우에 관찰할 수 있는 오일러의 네 제곱수 항등식, 즉,

(a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + a_{4}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2} + b_{4}^{2}) =

(a_{1} b_{1} - a_{2} b_{2} - a_{3} b_{3} - a_{4} b_{4})^{2} +

(a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1} + a_{3} b_{4} - a_{4} b_{3})^{2} +

(a_{1} b_{3} - a_{2} b_{4} + a_{3} b_{1} + a_{4} b_{2})^{2} +

(a_{1} b_{4} + a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} + a_{4} b_{1})^{2} .

을 일반화한 결과이다. 증명 자체는 단순한 식의 전개를 통해 할 수 있다. 이 항등식은 처음으로 1818년 무렵 데겐에 의해 발견되었으나, 이후 1843년 존 토머스 그레이브스(John Thomas Graves)와 1845년 아서 케일리에 의해 팔원수 체계가 구성되면서 독립적으로 재발견되었다. 이 항등식은 팔원수 a, b의 노름에 대해 $‖ a b ‖ = ‖ a ‖ ‖ b ‖$ 가 성립함을 의미하기 때문이다.

이보다 더 많은 수, 예컨대 16개의 수에 대해 유사한 항등식이 더 이상 성립하지 않는다는 것은 1898년 아돌프 후르비츠에 의해 증명되었다.

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