수렴급수

수학에서 급수란 수열을 구성하는 항들을 합으로 나타낸 것을 말한다. 급수의 수렴에 관한 논의에서 급수는 무한급수를 말하며, 주요 문제는 주어진 급수의 수렴여부와 수렴할 경우 그 합에 관한 것이다. 수렴급수라고 해도 그 합이 알려져 있지 않은 경우가 많다.

정의

급수 $\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_j=a_1+a_2+a_3+\cdots$의 $n$번째 부분합을 $S_n=\sum _{j=1}^n{a}_j$이라고 할 때 부분합이 이루는 수열 $\{S_n\}$이 수렴하면 급수 $\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_j$를 수렴급수(convergent series)라고 한다. 즉, 부분합이 이루는 수열 $\{S_n\}$이 어떤 고정된 유한한 수 $S$에 수렴하여

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=S$

와 같이 쓸 수 있으면 $\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_j$를 수렴급수 또는 급수 $\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_j$이 $S$로 수렴한다고 한다. 이때 $S$를 급수 $\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_j$의 합(sum)이라고 한다. 이 관계는

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left(\sum _{j=1}^n{a}_j\right)=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_j=S$

와 같이 이해할 수 있다. 수렴급수가 아닌 급수를 발산급수(divergent series)라고 한다.

수렴급수와 발산급수의 예

• 수렴급수

  $\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{j+1}\frac{1}{j}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots =\ln 2.$

  $\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{j-1}}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\cdots =2.$

  $\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{j^2}=\frac{1}{1}+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+\frac{1}{36}+\cdots =\frac{{\pi }^2}{6}.$

  $\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{j^3}=\frac{1}{1}+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+\cdots$ (수렴급수이지만 그 정확한 합은 알려져 있지 않다.)

• 발산급수

  $\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^j=-1+1-1+\cdots .$

  $\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{j}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\cdots .$

  $\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2j-1}{5j}=\frac{1}{5}+\frac{3}{10}+\frac{5}{15}\cdots .$

수렴정리

두 수렴급수 $\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_j$, $\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_j$의 합을 각각 $A,B$라고 하면 다음이 성립한다.

• $\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\alpha a_j=\alpha \sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_j=\alpha A$, ($\alpha :$상수)
• $\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}(a_j\pm b_j)=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_j\pm \sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_j=A\pm B$

수렴(발산)판정법

급수의 수렴여부를 판정하는 방법은 여러 가지가 알려져 있다. 그러나 어떤 한 가지 방법으로 모든 급수의 수렴여부를 판정하는 것은 어려운 일이다. 또한 수렴여부의 판정이 수렴급수의 합에 대한 정보를 주는 것이 아니므로 수렴급수의 합을 구하는 것은 또 다른 문제이다.

발산판정법(divergence test):급수 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$이 수렴하면 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$이다. 따라서 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$이 아닌 급수 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$는 발산급수이다. 이를 이용하여 급수의 발산을 판정하는 방법을 발산판정법(divergence test)이라고 한다.

• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2n}{4n+1}$은 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2n}{4n+1}=\frac{1}{2}\ne 0$이므로 발산급수이다.
• 급수 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$이 조건 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$을 만족한다해도 수렴급수가 아닐 수도 있다.

비교판정법(comparision test): 급수 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$의 수렴여부를 판정하기 위해 항 $a_n$과 이미 수렴여부가 알려진 급수 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$의 항 $b_n$를 비교하여 수렴여부를 결정하는 판정법이다. 비교판정법의 내용은 다음과 같다. 모든 $n$에 대해

• $0\le a_n\le b_n$이고, $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$이 수렴급수이면 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$도 수렴급수이다.
• $0\le b_n\le a_n$이고, $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$이 발산급수이면 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$도 발산급수이다.

비판정법(ratio test): 급수 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$의 수렴여부를 판정하기 위해 인접한 두 항 $a_n,a_{n+1}$의 비(ratio)의 극한을 이용하는 방법이다. 비판정법의 내용은 다음과 같다. 모든 $n$에 대해 $a_n>0$이고 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}=r$ 일 때

• r < 1 이면 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$은 수렴급수이다.
• r > 1 이면 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$은 발산급수이다.
• r = 1 이면 비판정법으로 급수 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$의 수렴여부를 결정할 수 없다.(즉, 수렴여부의 결정을 위해 다른 방법을 이용해야 한다.)

근판정법(root test): 급수 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$의 수렴여부를 판정하기 위해 항 $a_n$의 n제곱근(n-th root)의 극한을 이용하는 방법이다. 근판정법의 내용은 다음과 같다. 모든 $n$에 대해 $a_n\ge 0$이고 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n{)}^{\frac{1}{n}}=r$ 일 때

• r < 1 이면 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$은 수렴급수이다.
• r > 1 이면 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$은 발산급수이다.
• r = 1 이면 근판정법으로 급수 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$의 수렴여부를 결정할 수 없다.(즉, 수렴여부의 결정을 위해 다른 방법을 이용해야 한다.)

적분판정법(integral test): 주어진 급수를 이상적분과 연계시켜 수렴여부를 판정하는 방법이다. $f$를 구간 $[1,\mathrm{\infty })$에서 양의 값을 갖는 단조감소하는 연속함수라고 하자. 만약 모든 n에 대해 $f(n)=a_n$이고

$\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{1}{\overset{t}{\int }}f(x)dx<\mathrm{\infty },$

이면 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$는 수렴급수이다. 그러나 위 이상적분이 존재하지 않으면 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$는 발산급수이다.

이외에도 극한비교판정법, 교대급수에 대한 수렴판정법, 코시의 수렴판정법, 디리클레 판정법, 아벨의 판정법 등이 있다.

절대수렴과 조건수렴

급수 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$의 모든 항이 음이 아닌 값을 가지면($a_n\ge 0$), $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$을 양항급수라고 한다. 비교판정법, 비판정법, 근판정법, 적분판정법은 모두 양항급수의 수렴여부를 판정하는 방법이다. 절대수렴의 개념은 양항급수가 아닌 경우에도 이들 판정법을 이용하여 급수의 수렴여부를 판정할 수 있게 해준다.

• 절대수렴: 급수 $\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}|a_j|$가 수렴하면 $\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_j$가 절대수렴한다고 한다. 절대수렴하는 급수는 수렴급수이다. 즉 $\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}|a_j|$가 수렴하면 $\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_j$도 수렴한다.
• 조건수렴: $\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_j$는 수렴하지만, $\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}|a_j|$가 발산하면 $\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_j$를 조건수렴한다고 한다.
• 급수 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}\frac{1}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots$은 수렴급수이지만, $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|(-1{)}^{n+1}\frac{1}{n}|=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots$는 발산하므로 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}\frac{1}{n}$은 절대수렴하지 않는다. 그러므로 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}\frac{1}{n}$은 조건수렴하는 급수이다.