아벨-디니-프링스하임 판정법

틀:위키데이터 속성 추적 미적분학에서 아벨-디니-프링스하임 판정법(틀:Llang) 혹은 아벨-디니-프링스하임 정리(틀:Llang)는 임의의 양의 실수 항 발산급수로부터 더 느리게 발산하는 발산급수를 구성하는 수렴 판정법이다.틀:Rp 마찬가지로, 임의의 양의 실수 항 수렴급수로부터 더 느리게 수렴하는 수렴급수를 만들 수 있다. 이에 따라, 특정 급수에 기반한 수렴 판정법은 모든 급수에 대하여 유효할 수 없다.

정의와 증명

발산급수

발산급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 판정법에 따르면, 임의의 양의 실수의 수열 $(a_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}\subset (0,\mathrm{\infty })$에 대하여, 만약

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\mathrm{\infty }$

라면, 다음 명제들이 성립한다 ($S_n=a_0+a_1+\cdots +a_n$).

• (A) $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{S_n}=\mathrm{\infty }$
• (B) 임의의 양의 실수 $ϵ>0$에 대하여, $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{S_n{S}_{n-1}^{ϵ}}<\mathrm{\infty }$
• (C) 만약 추가로 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{S_n}=0$이라면, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_0/S_0+a_1/S_1+\cdots +a_n/S_n}{\ln S_n}=1$

이에 따라, 급수

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{S_n^t}$

는 $t>1$일 때 수렴하며, $t\le 1$일 때 발산한다. 틀:증명 가정에 따라, $S_n$은 증가수열이며 무한대로 발산한다. 따라서, 임의의 $n\in \{0,1,2,\dots \}$에 대하여,

$\frac{S_n}{S_{n+k_n}}<\frac{1}{2}$

인 $k_n\in \{0,1,2,\dots \}$이 존재한다. 따라서,

$\frac{a_n}{S_n}+\cdots +\frac{a_{n+k_n}}{S_{n+k_n}}\ge \frac{a_n+\cdots +a_{n+k_n}}{S_{n+k_n}}=\frac{S_{n+k_n}-S_{n+k_n}}{S_n}=1-\frac{S_n}{S_{n+k_n}}>\frac{1}{2}$

이다. 즉, $a_0/S_0+\cdots +a_n/S_n$은 코시 수열이 아니다. 즉, 급수

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{S_n}$

는 발산한다. 틀:증명 끝 틀:증명 만약 $0<ϵ\le {ϵ}^{\prime }$이라면, 충분히 큰 $n$에 대하여, $S_n\ge 1$이므로 $a_n/(S_n{S}_{n-1}^{ϵ})\ge a_n/(S_n{S}_{n-1}^{{ϵ}^{\prime }})$이다. 따라서, $0<ϵ\le 1$인 경우를 생각하면 충분하다. 이 경우, 임의의 $x\in (0,\mathrm{\infty })$에 대하여 다음 부등식이 성립한다.

$ϵ(1-x)\le 1-x^{ϵ}$

이는

$f(x)=ϵ(1-x)-1+x^{ϵ}$

라고 하였을 때

$f(1)=0$

$f^{\prime }(x)=ϵ(x^{ϵ-1}-1)\ge 0(\mathrm{\forall }x\in (0,1])$

$f^{\prime }(x)=ϵ(x^{ϵ-1}-1)\le 0(\mathrm{\forall }x\in [1,\mathrm{\infty }))$

이기 때문이다. 따라서, 다음이 성립한다.

$\begin{array}{cc}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{S_n{S}_{n-1}^{ϵ}}& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{S_n-S_{n-1}}{S_n{S}_{n-1}^{ϵ}}\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{S_{n-1}^{ϵ}}(1-\frac{S_{n-1}}{S_n})\\ & \le \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{ϵS_{n-1}^{ϵ}}(1-{\left(\frac{S_{n-1}}{S_n}\right)}^{ϵ})\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{ϵ}(\frac{1}{S_{n-1}^{ϵ}}-\frac{1}{S_n^{ϵ}})\\ & =\frac{1}{ϵS_0^{ϵ}}\\ & <\mathrm{\infty }\end{array}$

틀:증명 끝 틀:증명 $\ln S_n$은 무한대로 발산하는 증가수열이다. 슈톨츠-체사로 정리에 따라, 다음이 성립한다.

$\begin{array}{cc}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_0/S_0+a_1/S_1+\cdots +a_n/S_n}{\ln S_n}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_0/S_0+a_1/S_1+\cdots +a_n/S_n}{\ln S_0+\ln (S_1/S_0)+\cdots +\ln (S_n/S_{n-1})}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n/S_n}{\ln (S_n/S_{n-1})}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n/S_n}{\ln (S_n/(S_n-a_n))}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n/S_n}{\ln (1/(1-a_n/S_n))}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(-\frac{a_n/S_n}{\ln (1-a_n/S_n)})\\ & =1\end{array}$

마지막은 $a_n/S_n$이 0으로 수렴한다는 가정과 극한 공식

$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{\ln (1-t)}=-1$

에 의한다. (이 극한은 로그 항등식을 사용하여

$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{\ln (1-t)}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{\ln (1-t{)}^{1/t}}=\frac{1}{\ln \mathrm{(}1/\mathrm{e})}=-1$

와 같이 구하거나, 테일러 급수 전개

$\ln (1-t)=-t-\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{3}-\cdots (|t|<1)$

를 사용한다.) 틀:증명 끝

수렴급수

수렴급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 판정법에 따르면, 임의의 양의 실수의 수열 $(a_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}\subset (0,\mathrm{\infty })$에 대하여, 만약

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n<\mathrm{\infty }$

라면, 다음 명제들이 성립한다 ($r_n=a_n+a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots$).

• (A’) $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{r_n}=\mathrm{\infty }$
• (B’) 임의의 양의 실수 $ϵ>0$에 대하여, $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{r_n^{1-ϵ}}<\mathrm{\infty }$
• (C’) 만약 추가로 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{r_n}=0$이라면, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_0/r_0+a_1/r_1+\cdots +a_n/r_n}{\ln r_n}=-1$

특히, 급수

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{r_n^t}$

는 $t<1$일 때 수렴하며, $t\ge 1$일 때 발산한다. 틀:증명 가정에 따라, $r_n$은 0으로 수렴하는 감소수열이다. 따라서, 임의의 $n\in \{0,1,2,\dots \}$에 대하여,

$\frac{r_{n+k_n+1}}{r_n}<\frac{1}{2}$

인 $k_n\in \{0,1,2,\dots \}$이 존재한다. 따라서,

$\frac{a_n}{r_n}+\cdots +\frac{a_{n+k_n}}{r_{n+k_n}}\ge \frac{a_n+\cdots +a_{n+k_n}}{r_n}=\frac{r_n-r_{n+k_n+1}}{r_n}=1-\frac{r_{n+k_n+1}}{r_n}>\frac{1}{2}$

이다. 즉, 급수

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{r_n}$

의 부분합은 코시 수열이 아니다. 즉, 이 급수는 발산한다. 틀:증명 끝 틀:증명 만약 $0<ϵ\le {ϵ}^{\prime }$이라면, 충분히 큰 $n$에 대하여, $r_n<1$이므로 $a_n/r_n^{1-ϵ}\ge a_n/r_n^{1-{ϵ}^{\prime }}$이다. 따라서, $0<ϵ\le 1$인 경우를 생각하면 충분하다. 이 경우, 임의의 $x\in (0,\mathrm{\infty })$에 대하여, 다음 부등식이 성립한다 ((B)의 증명 참고).

$ϵ(1-x)\le 1-x^{ϵ}$

따라서, 다음이 성립한다.

$\begin{array}{cc}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{r_n^{1-ϵ}}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{r_n-r_{n+1}}{r_n^{1-ϵ}}\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{r}_n^{ϵ}(1-\frac{r_{n+1}}{r_n})\\ & \le \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{r_n^{ϵ}}{ϵ}(1-{\left(\frac{r_{n+1}}{r_n}\right)}^{ϵ})\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{ϵ}(r_n^{ϵ}-r_{n+1}^{ϵ})\\ & =\frac{r_0^{ϵ}}{ϵ}\\ & <\mathrm{\infty }\end{array}$

틀:증명 끝 틀:증명 (C)에

$S_n=\frac{1}{r_n}$

를 대입한다. 틀:증명 끝

둘 사이의 관계

발산급수·수렴급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 판정법은 서로 동치다. 구체적으로, 발산급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 판정법에

${S_n}^{\prime }=\frac{1}{r_n}$

을 대입하면 수렴급수에 대한 아벨-디니-프링스하임 판정법을 얻는다.

예

급수

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}1$

는 발산하며, 그 $n$번째 부분합은 $n$이다. 아벨-디니-프링스하임 판정법에 따라, 급수

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^t}$

는 $t>1$일 때 수렴하며, $t\le 1$일 때 발산한다. 또한, $1/n$이 0으로 수렴하므로 점근 공식

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1+1/2+\cdots +1/n}{\ln n}=1$

이 성립한다.

이렇게 찾은 발산급수

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$

에 대하여 다시 아벨-디니-프링스하임 판정법을 적용하자. 이 급수의 부분합 대신 이와 점근적으로 같은 수열 $\ln n$을 사용하여도 좋다. 따라서, 급수

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n{\ln }^{t}n}$

는 $t>1$일 때 수렴하며 $t\le 1$일 때 발산한다. 또한, $1/(n\ln n)$이 0으로 수렴하므로

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1+1/(2\ln 2)+\cdots +1/(n\ln n)}{\ln \ln n}=1$

이다.

역사

노르웨이의 수학자 닐스 헨리크 아벨은 (A)의 약한 형태를 증명하였다. 이탈리아의 수학자 울리세 디니(틀:Llang)이 (A)의 완전한 형태와 (B)의 약한 형태를 보였다. (B)는 알프레트 프링스하임(틀:Llang)이 증명하였다. (C)는 에르네스토 체사로(틀:Llang)의 결과다.