심플렉틱 리 대수

틀:위키데이터 속성 추적 리 군론에서 심플렉틱 리 대수(symplectic Lie代數, 틀:Llang)는 심플렉틱 군에 대응되는 리 대수이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 $K$
• $K$-가군 $V$
• $V$ 위의 교대 쌍선형 형식 $\mathrm{\Omega }:{\bigwedge }^{2}V\to K$, $\mathrm{\Omega }(v,v)=0$

그렇다면, $V$ 위의 자기 준동형들로 구성된 $K$-리 대수

$𝔤𝔩(V;K)={\mathrm{End}}_K(V)={\mathrm{hom}}_K(V,V)$

의 다음과 같은 $K$-부분 가군은 부분 리 대수를 이룬다.

$𝔰𝔭(V;K)=\{M\in 𝔤𝔩(V;K):\mathrm{\Omega }(u,Sv)=\mathrm{\Omega }(v,Su)\mathrm{\forall }u,v\in V\}$

증명:

$\mathrm{\Omega }(u,MNv)=-\mathrm{\Omega }(Mu,Nv)=\mathrm{\Omega }(NMu,v)=-\mathrm{\Omega }(v,NMu)$ 이므로,

$\mathrm{\Omega }(u,[M,N]v)=-\mathrm{\Omega }(v,[N,M]u)=\mathrm{\Omega }(v,[M,N]u)$

이다.

이를 $V$ 위의, $\mathrm{\Omega }$에 대한 심플렉틱 리 대수라고 한다.

성질

만약 $K$가 표수가 2가 아닌 체이며, $V$가 유한 차원 $K$-벡터 공간이며, $\mathrm{\Omega }$가 비퇴화 교대 쌍선형 형식이라고 하자. 이 경우, $V$는 항상 짝수 차원이며,

${\dim }_K𝔰𝔭(V,\mathrm{\Omega })=\frac{1}{2}({\dim }_{K}V)(1+{\dim }_{K}V)$

이다.

만약 $K\in \{ℝ,ℂ\}$이며, $V$가 유한 차원 $K$-벡터 공간일 때, $𝔰𝔭(V,\mathrm{\Omega })$는 심플렉틱 군 $\mathrm{Sp}(V,\mathrm{\Omega })$의 리 대수이다.

$𝔰𝔭(V,\mathrm{\Omega })=\mathrm{Lie}(\mathrm{Sp}(V,\mathrm{\Omega }))$

표수 2

만약 $K$의 표수가 2라면, 교대 쌍선형 형식은 자동적으로 대칭 쌍선형 형식이 되며, 이에 따라 $\mathrm{\Omega }$에 대한 직교 리 대수를 정의할 수 있다. 그런데 직교 리 대수의 조건은 $\mathrm{\Omega }(v,Mv)=0$이므로, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

$𝔬(V,\mathrm{\Omega })\subseteq 𝔰𝔭(V,\mathrm{\Omega })\subseteq 𝔤𝔩(V;K)$

예

만약 $\mathrm{\Omega }=0$일 때, $𝔰𝔭(V,0)=𝔤𝔩(V;K)$이다.

외부 링크

• 틀:매스월드