스토크스 현상

틀:위키데이터 속성 추적 복소해석학에서 스토크스 현상(Stokes現象, 틀:Llang)은 전해석 함수의 점근적 근사가 분지절단을 보이는 현상이다.

정의

어떤 전해석 함수 $f:ℂ\to ℂ$가 $|z|\gg 1$에 대하여 다음과 같이 근사된다고 하자.

$f(z)\approx g(z)(|z|\gg 1)$

여기서 $g(z)$는 전해석 함수가 아니며, 분지절단을 가질 수 있다. 이 경우, $f$가 스토크스 현상을 보인다고 한다.

예

$\mathrm{Ai}(z)$의 스토크스 선들의 모양

에어리 함수 $\mathrm{Ai}(z)$는 $\hat{\mathrm{\infty }}$에서 본질적 특이점을 갖는 전해석 함수이다. 임의의 편각 $\arg z$에 대하여, 에어리 함수는 다음과 같이 근사된다.

$\mathrm{Ai}(z)\sim C_{+}{x}^{-1/4}\exp (+(2/3)x^{3/2})+C_{-}{x}^{-1/4}\exp (-(2/3)x^{3/2})$

이 근삿값은 전해석 함수가 아니므로, 스토크스 현상이 발생하는 것을 볼 수 있다.

이와 같이, 일반적으로 점근적 근사는 여러 개의 점근적 항으로 구성되어 있다. 대부분의 편각에서는 이 항 가운데 하나만이 지수적으로 우세하게 되고, 따라서 나머지 항들은 버릴 수 있다. 여러 항들의 크기가 일치하게 되는 점들을 반 스토크스 선(틀:Llang)이라고 한다. 이러한 점에서는 점근적 근사의 우세한 항이 바뀌게 된다.

열등한 항의 계수는 스토크스 선(틀:Llang)에서 급격한 변화를 겪는다. 스토크스 선은 우세한 항이 열등한 항보다 상대적으로 가장 큰 값을 갖는 선이다.

$\mathrm{Ai}(z)$의 스토크스 선들은

$\arg (z)=2n\pi /3(n\in \mathbb{Z})$

이며, 반 스토크스 선들은

$\arg (z)=(2n+1)\pi /3(n\in \mathbb{Z})$

이다. 스토크스 선 근처에서 $C_{+}$와 $C_{-}$의 값은 급격히 변할 수 있다.

역사

조지 가브리엘 스토크스가 에어리 함수를 연구하는 과정에서 발견하였다.

같이 보기

• 보렐 합

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Eom
• 틀:매스월드
• 틀:웹 인용