보렐 합

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 보렐 합(Borel合, 틀:Llang)은 발산하는 급수의 합을 계산하는 한 방법이다.

정의

다음과 같은 급수

$a(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{z}^k$

가 있다고 하자. 이 급수의 약한 보렐 합(틀:Llang)은 다음과 같다.

$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\exp (-t)\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^n}{n!}\sum _{k=0}^n{a}_k{z}^k$

약한 보렐 합이 존재하는 급수를 약하게 보렐 가합 급수(틀:Llang)라고 한다.

보다 더 강력한 합을 정의하려면, 급수의 보렐 변환(틀:Llang)을 다음과 같이 정의하자.

$ℬa(t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n{t}^n}{n!}$

만약 보렐 변환 $ℬa$가 충분히 작은 $t$에 대하여 수렴하고, 이를 모든 양의 실수값으로 해석적 연속할 수 있다면, $a(z)$의 보렐 합은 다음과 같다.

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (-t)ℬa(tz)dt$

보렐 합이 존재하는 급수를 보렐 가합 급수(틀:Llang)라고 한다.

유도

보렐 합은 다음과 같이 "유도"할 수 있다. 우선, 모든 음이 아닌 정수 $n$에 대하여 다음이 성립한다.

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (-t)t^{n}dt=\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!$

따라서, 급수에 이 적분을 삽입한 뒤, 적분과 합의 순서를 바꾸자.

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^{n}dt=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n\int \exp (-t)t^{n}dt/n!$

$=\int \exp (-t)(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(tz{)}^n/n!)dt=\int \exp (-t)ℬa(tz)dt$

급수가 수렴한다면 적분과 합의 순서를 바꿀 수 있고, 따라서 보렐 합이 급수의 합과 같게 된다.

성질

보렐 합은 다음과 같은 성질을 만족시킨다.

• 수렴하는 급수의 경우 보렐 합과 약한 보렐 합이 존재하며, 이는 통상적인 합과 같다.
• 모든 약하게 보렐 가합 급수는 보렐 가합 급수이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.

예

기하급수 $a(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^k$는 $|z|<1$이면 수렴하나 그 밖에서는 발산한다. 이 급수의 보렐 변환은

$ℬa(t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t^n}{n!}=\exp t$

이다. 따라서 기하급수의 보렐 합은

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp (t(z-1))dt=1/(1-z)$

이며, 이는 $\mathrm{Re}z<1$인 경우 수렴한다. 즉, 수열이 수렴하는 범위가 더 넓어진다.

역사

에밀 보렐이 1899년 도입하였다. 여기에 대하여 다음과 같은 일화가 전해진다. 틀:인용문2

같이 보기

• 아벨 극한 정리

참고 문헌

• 틀:인용
• 틀:서적 인용
• 틀:서적 인용

외부 링크

• 틀:Eom