세타 지표

틀:위키데이터 속성 추적 대수기하학에서 세타 지표(θ指標, 틀:Llang)는 대수 곡선의 표준 선다발의 제곱근이다. 리만 곡면의 경우, 이는 스핀 구조에 해당한다.

정의

대수 곡선 $C$ 위에는 항상 표준 선다발 ${ℒ}_K$가 존재한다. 대수 곡선 $C$의 세타 지표 ${ℒ}_{\mathrm{\Theta }}$는 다음을 만족시키는 정칙 선다발이다.

${ℒ}_{\mathrm{\Theta }}\otimes {ℒ}_{\mathrm{\Theta }}={ℒ}_K$

즉, 인자로 쓰면 다음과 같다.

$2\mathrm{\Theta }=K$

세타 지표들의 공간은 $\mathrm{Th}(C)$라고 쓴다.

아벨 군으로 간주한 야코비 다양체 $J(C)$의 2차 꼬임 부분군

$J_2(C)=\{L\in J(C):L\otimes L={𝒪}_C\}$

을 생각하자. 이는 유한체 ${𝔽}_2$에 대한 벡터 공간을 이룬다. 임의의 원소 $L\in J_2(C)$ 및 세타 지표 ${ℒ}_{\mathrm{\Theta }}\in \mathrm{Th}(C)$에 대하여, $L\otimes {ℒ}_{\mathrm{\Theta }}$ 역시 세타 지표를 이룬다. 따라서, 세타 지표의 공간 $\mathrm{Th}(C)$는 $J_2(C)$에 대한 아핀 공간을 이룬다.

성질

표준 선다발의 차수는 $\mathrm{deg}K=2g-2$이므로, 세타 지표의 차수는 $\mathrm{deg}\mathrm{\Theta }=g-1$이다.

종수가 $g$이며, 대수적으로 닫힌 체에 대한 대수 곡선의 경우, 총 $2^{2g}$개의 세타 지표가 존재한다.

각주

• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용

같이 보기

• 세타 함수
• 스핀 다양체