샤르코우스키 정리

틀:위키데이터 속성 추적 동역학계 이론에서 샤르코우스키 정리(Шарковський 定理, 틀:Llang)는 구간 위의 연속 사상이 가질 수 있는 주기점의 주기들의 집합을 분류하는 정리다. 이에 따르면, 가능한 주기들의 집합은 양의 정수들 위의 어떤 특정한 전순서의 꼬리이다.

정의

양의 정수의 집합 ${\mathbb{Z}}^{+}$ 위에 다음과 같은 함수를 정의하자.

$f:{\mathbb{Z}}^{+}\to (\mathbb{N}\cup \{\mathrm{\infty }\})\times \mathbb{Z}$

$f:2^a(2b+3)\mapsto (a,b)(a,b\in \mathbb{N})$

$f:2^a\mapsto (\mathrm{\infty },-a)(a\in \mathbb{N})$

$(\mathbb{N}\cup \{\mathrm{\infty }\})\times \mathbb{Z}$ 위에 사전식 순서를 줄 수 있다. 이 전순서를 $f$를 통해 ${\mathbb{Z}}^{+}$에 부여할 수 있는데, 이를 샤르코우스키 순서(Шарковський順序, 틀:Llang)라고 한다. 즉, 이는 다음과 같다.

$3\prec 5\prec 7\prec 9\prec \cdots \prec 2\cdot 3\prec 2\cdot 5\prec 2\cdot 7\prec \cdots \prec 2^2\cdot 3\prec 2^2\cdot 5\prec \cdots \prec 2^3\prec 2^2\prec 2^1\prec 2^0$

구간 $I\subseteq ℝ$ 위에 정의된 함수

$\varphi :I\to I$

의 주기점(틀:Llang)은

$\stackrel{k}{\overbrace{\varphi \circ \cdots \circ \varphi }}(x)={\varphi }^k(x)=x$

인 $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$가 존재하는 점이며, 이러한 최소의 양의 $k$를 주기점의 최소 주기(틀:Llang)라고 한다. 예를 들어, 고정점은 최소 주기가 1인 주기점과 같다.

샤르코우스키 정리에 따르면, 만약 $\varphi :I\to I$가 연속 함수이며, $\varphi$가 최소 주기가 $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$인 주기점을 갖는다면, 모든 양의 정수 $m\succ n$에 대하여 최소 주기가 $m$인 $\varphi$의 주기점이 존재한다. 특히, 만약 최소 주기가 3인 주기점이 존재한다면, 모든 양의 정수에 대하여 해당 최소 주기를 갖는 주기점이 존재한다.

또한, 샤르코우스키 정리의 역도 성립한다. 즉, 임의의 $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$에 대하여, $\{m\in {\mathbb{Z}}^{+}:m⪰n\}$이 최소 주기들의 집합인 연속 함수 $f:I\to I$가 존재한다.

리-요크 정리

구간 $I$ 위의 연속 함수 $\varphi :I\to I$가 최소 주기 3의 주기점을 갖는다면, 샤르코우스키 정리에 따라 모든 최소 주기의 주기점들이 존재한다. 리-요크 정리([李]-Yorke定理, 틀:Llang)에 따르면, 최소 주기 3의 주기점이 존재한다면 다음 네 조건을 만족시키는 부분 집합 $S\subset I$가 존재한다.

• $S$는 주기점들을 포함하지 않는다.
• $|S|=2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$이다.
• 임의의 $x,y\in S$에 대하여 ($x\ne y$),

  $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}|{\varphi }^n(x)-{\varphi }^n(y)|>0$

  $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}|{\varphi }^n(x)-{\varphi }^n(y)|=0$

• 임의의 $x\in S$ 및 주기점 $y\in I\setminus S$에 대하여,

  $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}|{\varphi }^n(x)-{\varphi }^n(y)|>0$

예

로지스틱 사상의 경우, $r\gtrsim 1+\sqrt{8}$인 경우 최소 주기가 3인 주기점이 존재한다. 따라서, 이 경우 로지스틱 사상은 모든 가능한 최소 주기의 주기점이 존재한다. 그러나 이들은 (주기 3을 제외하면) 모두 불안정 주기점이며, 따라서 분기도에 나타나지 않는다.

샤르코우스키 정리는 고차원에서 성립하지 않으며, 또 구간이 아닌 다른 위상에서도 성립하지 않는다. 예를 들어, 원 $ℝ/\mathbb{Z}$ 위에서 $x\mapsto x+1/3$의 경우 모든 점이 최소 주기 3의 주기점이지만, 다른 최소 주기의 주기점은 존재하지 않는다.

역사

샤르코우스키 정리는 올렉산드르 미콜라요비치 샤르코우스키(틀:Llang, 틀:Llang)가 1964년에 증명하였다.

샤르코우스키의 업적은 서방 수학에서는 거의 알려지지 않고 있었다. 이후 1975년에 리톈옌(틀:Zh, 틀:Llang)과 제임스 요크(틀:Llang)는 리-요크 정리를 통해 주기 3의 경우의 샤르코우스키 정리의 특수한 경우를 재증명하였다. 리톈옌과 요크는 샤르코우스키의 논문에 대하여 몰랐으나, 이후 샤르코우스키의 업적이 혼돈 이론의 일부로 재조명되었다. 리톈엔과 요크의 1975년 논문은 또한 "혼돈"(틀:Llang)이라는 용어가 전문 용어로 최초로 사용된 문헌이다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:매스월드
• 틀:매스월드
• 틀:웹 인용
• 틀:웹 인용

같이 보기

• 혼돈 (수학)
• 분기 (동역학계)