산술-기하 수열

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서, 산술-기하 수열은 등차수열의 항과 대응하는 등비수열의 항을 항별로 곱한 수열이다. 더 쉽게 말해서, 산술-기하 수열의 n항은 등차수열의 n항과 등비수열의 n항의 곱이다. 산술-기하 수열은 확률론에서 기댓값을 계산하는 것과 같은 다양한 응용에서 나타난다. 예를 들어, 수열

$\frac{0}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{4},\frac{3}{8},\frac{4}{16},\frac{5}{32},\cdots$

은 산술-기하 수열이다. 산술 성분은 분자에 나타나고 (파란색), 기하 성분은 분모에 나타난다. (초록색)

이것은 등차수열과 등비수열의 특징을 둘 다 나타내는 다른 대상들에 적용될 수 있다. 예를 들어 산술-기하 수열의 프랑스식 개념은 $u_{n+1}=a{u}_n+b$와 같은 형태로 나타나는 수열을 의미하는데, 이는 등차수열과 등비수열의 일반화이다. 이러한 수열은 선형 계차 방정식의 특별한 경우이다.

수열의 항

공차가 $d$이고 초항이 $a$인 등차수열(파란색)과 초항이 $b$이고 공비가 $r$인 등비수열로 이루어진 산술-기하 수열의 처음 몇 개의 항은 다음과 같이 주어진다:

$\begin{array}{cc}{t}_1& =ab\\ t_2& =(a+d)br\\ t_3& =(a+2d)b{r}^2\\ & ⋮\\ t_n& =[a+(n-1)d]b{r}^{n-1}\end{array}$

예

예를 들어, 수열

$\frac{0}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{4},\frac{3}{8},\frac{4}{16},\frac{5}{32},\cdots$

은 $d=b=1$, $a=0$, $r=\frac{1}{2}$에 의해 정의된다.

부분합

산술-기하 수열의 첫 틀:수학개 항의 합은 다음 형태를 가진다.

$\begin{array}{cc}{S}_n& =\sum _{k=1}^n{t}_k=\sum _{k=1}^n[a+(k-1)d]b{r}^{k-1}\\ & =ab+[a+d]br+[a+2d]b{r}^2+\cdots +[a+(n-1)d]b{r}^{n-1}\\ & =A_1{G}_1+A_2{G}_2+A_3{G}_3+\cdots +A_n{G}_n,\end{array}$

이 때 $A_i$와 $G_i$는 등차수열과 등비수열의 i항을 각각 의미한다.

이 합은 다음과 같은 닫힌 형태 표현을 갖는다.

$\begin{array}{cc}{S}_n& =\frac{ab-(a+nd)b{r}^n}{1-r}+\frac{dbr(1-r^n)}{(1-r{)}^2}\\ & =\frac{A_1{G}_1-A_{n+1}{G}_{n+1}}{1-r}+\frac{dr}{(1-r{)}^2}(G_1-G_{n+1}).\end{array}$

증명

다음에 r을 곱한 다음,

$S_n=ab+[a+d]br+[a+2d]b{r}^2+\cdots +[a+(n-1)d]b{r}^{n-1}$

틀:수학 을 틀:수학에서 빼고 망원 급수의 기법을 이용하면 다음을 얻는다.

$\begin{array}{cc}(1-r)S_n=& [ab+(a+d)br+(a+2d)b{r}^2+\cdots +[a+(n-1)d]b{r}^{n-1}]\\ & -[abr+(a+d)b{r}^2+(a+2d)b{r}^3+\cdots +[a+(n-1)d]b{r}^n]\\ =& ab+db(r+r^2+\cdots +r^{n-1})-[a+(n-1)d]b{r}^n\\ =& ab+db(r+r^2+\cdots +r^{n-1}+r^n)-(a+nd)b{r}^n\\ =& ab+dbr(1+r+r^2+\cdots +r^{n-1})-(a+nd)b{r}^n\\ =& ab+\frac{dbr(1-r^n)}{1-r}-(a+nd)b{r}^n,\end{array}$

이 때 마지막 등식은 등비수열의 합으로부터 얻어진다. 마지막으로 틀:수학 을 나누면 결론을 얻는다.

급수

만일 −1 < r < 1이면, 산술-기하 급수 S는 말하자면 무한히 많은 항들을 더해서 얻은 것인데, 이는 다음과 같이 주어진다.

$\begin{array}{cc}S& =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{t}_k=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n\\ & =\frac{ab}{1-r}+\frac{dbr}{(1-r{)}^2}\\ & =\frac{A_1{G}_1}{1-r}+\frac{d{G}_{1}r}{(1-r{)}^2}.\end{array}$

만일 r 이 위의 범위를 벗어나면, 급수는 다음 둘 중 하나이다.

• 발산한다 (r > 1 또는 r = 1이고 등차수열의 a와 d가 모두 0이 아닌 경우. 만일 후자의 경우 a와 d가 모두 0이면, 급수의 모든 항이 0이 되어 급수는 상수가 된다.)
• 또는 교대급수 (when r ≤ −1).

예 : 기댓값에 대한 응용

예를 들어, 합

$S=\frac{0}{1}+\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\frac{5}{32}+\cdots$,

는 $d=b=1$, $a=0$, $r=\frac{1}{2}$로 정의된 산술-기하 급수인데, 이는 $S=2$로 수렴한다.

이 수열은 "뒷면"을 얻기까지 예상되는 동전 던지기의 기댓값과 관련있다. k번째 동전 던지기에서 처음으로 뒷면을 얻을 확률 $T_k$는 다음과 같다:

$T_1=\frac{1}{2},T_2=\frac{1}{4},\dots ,T_k=\frac{1}{2^k}$.

따라서 동전 던지기의 기댓값은

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k{T}_k=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{k}{2^k}=S=2$ .

더 읽을거리

• 틀:서적 인용
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