망원급수

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 망원급수(틀:Llang)란 부분적 항들의 합이 소거 후에 결과적으로 고정된 값만이 남는 수열을 일컫는다. 이러한 테크닉은 “차(差)의 방법”, 또는 “상쇄 합”이라고도 불린다.

예를 들어,

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+1)}$

와 같은 급수는

$\begin{array}{cc}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+1)}& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=1}^N(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots +(\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1})\right]\\ & =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left[1+(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2})+(-\frac{1}{3}+\frac{1}{3})+\cdots +(-\frac{1}{N}+\frac{1}{N})-\frac{1}{N+1}\right]=1.\end{array}$

으로 단순화된다.

일반적인 경우

먼저 $a_n$ 을 수열로 정의하자. 이때,

$\sum _{n=1}^N(a_n-a_{n-1})=a_N-a_0,$

이고, $a_n\to 0$ 이라면

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n-a_{n-1})=-a_0.$

함정

비록 상쇄 합은 유용한 테크닉이나, 잘못 사용할 경우 쉽게 함정에 빠질 수도 있다. 그란디 급수라고도 불리는 다음의 경우를 살펴보면,

$0=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}0=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-1)=1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1+1)=1$

는 잘못된 결론인데, 이런 오류는 각 항이 0으로 수렴하지 않는 급수를 다루었기 때문에 발생한다. 이런 오류를 미연에 방지하기 위해서는 N번째 항에 대한 합을 구한 다음에 N이 무한으로 발산할 경우를 따져 보면 된다.

$\begin{array}{cc}\sum _{n=1}^N\frac{1}{n(n+1)}& =\sum _{n=1}^N(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\\ & =(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots +(\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1})\\ & =1+(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2})+(-\frac{1}{3}+\frac{1}{3})+\cdots +(-\frac{1}{N}+\frac{1}{N})-\frac{1}{N+1}\\ & =1-\frac{1}{N+1}\to 1\mathrm{a}\mathrm{s}N\to \mathrm{\infty }.\end{array}$

다른 예시

• 많은 삼각함수는 차로써의 표현이 인정되므로 망원급수에서 쓰이는 소거법이 연속된 항들에 적용될 수 있다.

$\begin{array}{cc}\sum _{n=1}^N\sin \left(n\right)& =\sum _{n=1}^N\frac{1}{2}\csc \left(\frac{1}{2}\right)(2\sin \left(\frac{1}{2}\right)\sin \left(n\right))\\ & =\frac{1}{2}\csc \left(\frac{1}{2}\right)\sum _{n=1}^N(\cos \left(\frac{2n-1}{2}\right)-\cos \left(\frac{2n+1}{2}\right))\\ & =\frac{1}{2}\csc \left(\frac{1}{2}\right)(\cos \left(\frac{1}{2}\right)-\cos \left(\frac{2N+1}{2}\right)).\end{array}$

• 다음과 같은 형태의 합

$\sum _{n=1}^N\frac{f(n)}{g(n)},$

”f”와 “g”가 다항식이고 각 항이 부분 분수로 쪼개질 수 있을 때, 상쇄 합 방법은 실패할 수도 있다. 예를 들어,

$\begin{array}{cc}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2n+3}{(n+1)(n+2)}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2})\\ & =(\frac{1}{1}+\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+\cdots \\ & \cdots +(\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n})+(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1})+(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2})+\cdots \\ & =\mathrm{\infty }.\end{array}$

문제는 각 항이 소거, 상쇄되지 않는다는 점이다.

• ‘’k’’를 양의 정수라 하자. 이때

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(n+k)}=\frac{H_k}{k}$

H_k는 ‘’k’’번째 조화수이다. 1/(k − 1) 이후의 모든 항은 소거된다.

같이 보기

• 렙셰츠 고정점정리
• 소수의 역수의 합의 발산성
• 호몰로지