사영 초공간

틀:위키데이터 속성 추적 이론물리학에서, 사영 초공간(射影超空間, 틀:Llang)은 8개의 초대칭을 갖는 양자장론을 편리하게 다루는 초공간이다. 일반 초공간과 사영 직선(리만 구)의 곱공간이다.

4차원에서, $𝒩\ge 2$ 초대칭의 경우, 일반적인 초공간을 사용한다면 두 가지의 문제가 발생한다.

• 반가환수 좌표가 너무 많아서, 초다중항이 지나치게 커지므로, 초장에 여러 개의 제약 또는 게이지 대칭을 임의로 가해야 한다.
• 이러한 제약을 가하려면, 일반적으로 운동 방정식을 사용해야 한다. 이 문제는 유한 개의 성분을 가지는 초장으로 해결할 수 없다.틀:Rp

이를 해결하기 위하여, 무한 개의 성분을 가지는 초장을 사용해야 한다. (물리적으로, 이 성분들은 유한 개를 제외하고는 모두 보조장이다.) 사영 초공간에서, 이 성분들은 리만 구 위의 로랑 급수의 성분들로서 등장한다. $𝒩=2$ 초대칭의 SU(2) R대칭은 리만 구 위의 뫼비우스 변환으로 표현된다.

정의

4차원 시공간에서, $𝒩=2$ 초대칭을 생각하자. 이 경우, 일반 초공간의 좌표는 다음 세 가지이다.

• $x^{\mu }$
• 스피너 좌표 ${\theta }^{\alpha a}$, ${\overline{\theta }}^{\dot{\alpha }a}$

여기서 $\alpha \in \{1,2\}$ 및 $\dot{\alpha }\in \{1,2\}$는 왼손 · 오른손 스피너 지표이며, $a\in \{1,2\}$는 SU(2) R대칭의 기본 표현 지표이다.

사영 초공간은 여기에 추가 가환 좌표 $u\in {ℂ}^2\setminus \{0\}$를 갖는다. 좌표들의 표현은 다음과 같다.

좌표	로런츠 군 $\mathrm{SO}(3,1)$ 표현	R대칭 $\mathrm{SU}(2)$ 표현 (스핀 $j$)	R대칭 $\mathrm{U}(1)$ 표현
$x^{\mu }$	(½,½)	0	0
$u_a$	(0,0)	½	1
${\theta }_a^{\alpha }$	(½,0)	½	1
${\overline{\theta }}_a^{\dot{\alpha }}$	(0,½)	½	−1

여기서, $u$의 두 복소수 성분은 사실 리만 구 ${\mathrm{C}\mathbb{P}}^1$의 동차 좌표로 여겨진다.

공변 미분

일반 초공간의 공변 미분

$D_{\alpha a},{\overline{D}}_{\dot{\alpha }a}$

은 다음과 같은 리 괄호를 갖는다.

$\{D_{\alpha a},D_{\beta b}\}=0$

$\{{\overline{D}}_{\dot{\alpha }a},{\overline{D}}_{\dot{\beta }b}\}=0$

$\{{\overline{D}}_{\dot{\alpha }a},D_{\beta b}\}=\mathrm{i}{\delta }_{ab}{\partial }_{\mu }{\sigma }_{\beta \dot{\alpha }}^{\mu }$

이제, 다음을 정의하자.

${\mathrm{\nabla }}_{\alpha }=u_a{D}_{\alpha a}$

${\overline{\mathrm{\nabla }}}_{\dot{\alpha }}=u_a{\overline{D}}_{\dot{\alpha }b}{ϵ}_{ab}$

사영 초장

조화 초공간 위에 정의된 초장 $\mathrm{\Phi }$가

$\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }=0$

$\overline{\mathrm{\nabla }}\mathrm{\Phi }=0$

$\frac{\partial }{\partial \overline{u}}\varphi =0$

를 만족시키며,

$\varphi (x,cu)=c^n\varphi (x,u)(c\in {ℂ}^{\times })$

를 만족시킨다면, 이를 무게 $n$의 사영 초장(틀:Llang)이라고 한다. 이는 이제 ${ℂ\mathrm{P}}^1$ 위의 $n$만큼 뒤틀린 선다발의 해석적 단면으로 여겨질 수 있다. 또한, 사영 초장은 극점 및 기타 특이점을 가질 수 있다.

이제, 이 극점 및 특이점을 피하는 리만 구 속의 폐곡선 $\gamma$가 주어졌다고 하자. 이제, 4차원 $𝒩=2$ 초대칭 이론의 라그랑지언 $ℒ$은 무게 2의 사영 초장을 이루며, 이에 대한 작용은 다음과 같다.

$S=-\frac{1}{2\pi }\underset{\gamma }{\int }v\mathrm{d}v\int {\mathrm{d}}^{4}x{\mathrm{d}}^2\theta {\mathrm{d}}^2\overline{\theta }{\mathrm{\nabla }}^a{\mathrm{\nabla }}_a{\overline{\mathrm{\nabla }}}_{\dot{\beta }}{\overline{\mathrm{\nabla }}}^{\dot{\beta }}ℒ(z,v)$

예

편의상, ${ℂ\mathrm{P}}^1$의 좌표 $\zeta =u^1/u^2$를 생각하자.

사영 초장은 다음과 같이 로랑 급수로 전개될 수 있다.

$\mathrm{\Phi }=\sum _{i=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Phi }}_i{\zeta }^i$

스칼라 초다중항(4개 스칼라장과 1개 디랙 스피너장)의 경우, 보통 $\mathrm{\Phi }$가 $\zeta =0$에서 정칙 함수인 것을 가정한다. 즉,

$\mathrm{\Phi }=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\Phi }}_i{\zeta }^i$

이다.

이제 초대칭 게이지 이론을 생각하자. 위 스칼라 초장은 게이지 변환에 따라 다음과 같이 변환한다.

$\mathrm{\Phi }\mapsto \exp (\mathrm{i}\alpha )\mathrm{\Phi }$

여기서 $\alpha$는 $\zeta$에 대하여 해석적인, 게이지 변환 매개 변수를 나타내는 초장이다.

게이지 초장(즉, 게이지 보손과 게이지노, 스칼라장을 포함하는 초다중항)은 다음과 같이, $\alpha$변환을 $\overline{\alpha }$변환으로 대응시켜, 게이지 불변 운동항을 적을 수 있게 한다.

$\exp V=\exp (\mathrm{i}\overline{\alpha })\exp V\exp (-\mathrm{i}\lambda )$

게이지 초장 $V$ 역시 조화 초장이며, 이는 또한 다음과 같은 꼴의 로랑 급수를 갖는다.

$V=\sum _{i=-2}^2{\zeta }^i{V}_i$

$V_{-i}=(-{)}^i{\overline{v}}_i$

같이 보기

• 초공간

참고 문헌

• 틀:저널 인용
• 틀:저널 인용
• 틀:서적 인용