비표준 해석학

틀:위키데이터 속성 추적 비표준 해석학(非標準解析學, 틀:Llang)은 초실수와 그 위의 함수에 대하여 연구하는 해석학의 한 분야이다.

정의

$ℝ$이 실수체이고, $\mathbb{N}$이 자연수의 모노이드이라고 하자. 그렇다면 ${ℝ}^{\mathbb{N}}$은 실수들의 수열들의 집합이다. 초실수의 체 ${}^{*}ℝ$는 ${ℝ}^{\mathbb{N}}$의 적절한 몫으로 정의된다. 주필터가 아닌 임의의 극대 필터 $ℱ\subset 𝒫(\mathbb{N})$를 고르자. (특히, $ℱ$는 프레셰 필터(여유한 집합들의 필터)를 포함한다.) 이러한 극대 필터는 선택 공리에 따라 항상 존재하지만, 직접 적을 수는 없다. 이 극대 필터를 사용하여, 두 수열 $u,v\in {ℝ}^{\mathbb{N}}$ 사이에 다음과 같은 동치 관계를 줄 수 있다.

$u\sim v⟺\{n\in \mathbb{N}:u_n=v_n\}\in ℱ$

이 동치관계에 대한 몫은 곱셈에 대하여 체를 이루며, 이를 초실수의 체로 정의한다.

${}^{*}ℝ={ℝ}^{\mathbb{N}}/ℱ$

실해석학의 구현

실해석학에서 극한을 통해 구현되는 표준적인 여러 연산들은 초실수를 사용하여 대수적으로 정의할 수 있다.

극한과 미분

함수 ${}^{*}f:{ℝ}^{*}\to {ℝ}^{*}$의 $a\in {ℝ}^{*}$에서의 극한은 다음과 같다.

$\underset{x\to a}{\lim }{}^{*}f(x)=L⟺\mathrm{\forall }b\approx a:f(b)\approx L(L\in ℝ)$

함수 ${}^{*}f:{}^{*}ℝ\to {}^{*}ℝ$가 다음 조건을 만족시키면, 연속함수라고 한다.

• 모든 $x,y\in {ℝ}^{*}$에 대하여, 만약 $x\approx y$라면 $f(x)\approx f(y)$이다.

함수 ${}^{*}f:{}^{*}ℝ\to {}^{*}ℝ$ 및 $x\in ℝ$에 대하여, 다음이 성립한다고 하자. 임의의 0이 아닌 두 무한소 ${ϵ}_1,{ϵ}_2\in {}^{*}ℝ$에 대하여,

$\frac{{}^{*}f(x+{ϵ}_1)-f(x)}{{ϵ}_1}\approx \frac{{}^{*}f(x+{ϵ}_2)-f(x)}{{ϵ}_2}$

이 경우 ${}^{*}f$는 $x\in ℝ$에서 미분 가능하다고 하고, $f$의 도함수는

${}^{*}{f}^{\prime }(x)=\mathrm{st}\left(\frac{{}^{*}f(x+ϵ)-{}^{*}f(x)}{ϵ}\right)\in ℝ$

이다.

1차 논리로 정의할 수 있는 실함수 $f:ℝ\to ℝ$에 대하여, 이에 대응하는 비표준 확대

${}^{*}f:{}^{ℝ}\to {}^{*}ℝ$

에 대하여, 다음이 동치이다.

• $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=b$
• $\underset{x\to a}{\lim }{}^{*}f(x)=b$

또한, 다음이 동치이다.

• $a\in ℝ$에서 $f$는 연속함수이다.
• $a\in ℝ$에서 ${}^{*}f$는 연속함수이다.

또한, 다음이 동치이다.

• $a\in ℝ$에서 $f$는 미분 가능하며, $f^{\prime }(a)=b$이다.
• $a\in ℝ$에서 ${}^{*}f$는 미분 가능하며, $f^{\prime }(a)=b$이다.

적분

초실수 체계에서, 리만 적분은 a, a + dx, a + 2dx, ... a + ndx 등으로 나누어지는 무한소의 격자들의 합으로 정의된다. 여기서 dx는 무한소이며, n은 무한의 초정수이며, 적분 구간의 하한 a 와 상한 b = a + n dx인 관계를 따른다.

예

함수 $f(x)=x^2$의 도함수는 비표준적으로 다음과 같이 계산할 수 있다. $dx\in {}^{*}ℝ$가 임의의 무한소라고 하자. 그렇다면 임의의 $x\in ℝ$에 대하여 다음과 같다.

$f^{\prime }(x)=\mathrm{st}\left(\frac{(x+dx{)}^2-x^2}{dx}\right)=\mathrm{st}(2x+dx)=2x$

같이 보기

• 초실수

외부 링크

• 틀:위키공용분류-줄
• 틀:Eom