비각운동량

틀:위키데이터 속성 추적 천체 역학에서 비각운동량 $\overrightarrow{h}$는 이체 문제의 분석에서 중추적인 역할을 한다. 뉴턴 역학에서 이러한 물리량이 이상적인 궤도에 대한 상수 벡터임을 보일 수 있다. 이는 본질적으로 케플러의 제2법칙을 증명해준다.

이 값은 각운동량 $\overrightarrow{L}$이 아니라 각운동량에 질량을 나눈 값이므로 비각운동량이라고 한다. 따라서 "비"라는 단어는 "질량비" 또는 질량으로 나눈 것임을 뜻한다.

$\overrightarrow{h}=\frac{\overrightarrow{L}}{m}$

따라서 SI 단위는 m ² · s ⁻¹이다. $m$은 환산 질량 $\frac{1}{m}=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}$을 나타낸다.

정의

상대 비각운동량은 상대 위치 벡터 $\overrightarrow{r}$과 상대 속도 벡터 $\overrightarrow{v}$의 외적으로 정의된다.

$\overrightarrow{h}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v}=\frac{\overrightarrow{L}}{m}$

$\overrightarrow{h}$ 벡터는 항상 순간 회전 궤도면과 수직하며, 순간 회전 궤도면은 순간 섭동 궤도와 일치한다. 따라서 $\overrightarrow{h}$ 벡터는 수년간의 섭동이 포함된 평균 평면과는 수직하지 않는다.

물리학에서 늘 그렇듯이 벡터 $\overrightarrow{h}$의 크기는 $h$로 표시된다:

$h=\Vert \overrightarrow{h}\Vert$

이상적인 조건에서 상대 비각운동량이 일정하다는 증명

전제 조건

다음 증명은 뉴턴의 만유인력 법칙에도 적용된 단순화 하에서만 유효하다.

점질량 $m_1$과 $m_2$가 서로 거리 $r$만큼 떨어져있으며, 중력에 의해 서로 $\overrightarrow{F}=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}\frac{\overrightarrow{r}}{r}$의 힘이 작용한다. 이 힘은 거리에 관계없이 즉시 작용하며 계에 존재하는 유일한 힘이다. 좌표계는 관성의 법칙을 만족한다.

추가적인 단순화를 위해 $m_1\gg m_2$를 가정한다. 따라서 좌표계의 원점에서 $m_1$은 중심체이며, $m_2$ 주위를 도는 위성이다. 이때 환산질량은 $m_2$와 같다. 그리고 2체 문제의 방정식은 다음과 같이 써진다.

$\ddot{\overrightarrow{r}}=-\frac{\mu }{r^2}\frac{\overrightarrow{r}}{r}$

$\mu =G{m}_1$은 표준 중력 변수이며, 거리 벡터 $\overrightarrow{r}$ (절대값: $r$)은 위에서 가정한 조건에 의해 원점(중심체)에서 위성을 가리키게 된다.

때때로 $\mu$를 환산 질량으로 표기하는 경우도 있기 때문에, 본 글의 표준 중력 변수 $\mu$를 환산 질량과 혼동하지 않는 것이 중요하다.

증명

$m_1$ 주위의 궤도에서 $m_2$의 거리 벡터 $\overrightarrow{r}$, 속도 벡터 $\overrightarrow{v}$, 진근점 이각 $\theta$, 비행 경로 각도 $\varphi$. 타원의 가장 중요한 측정값들도 표시되었다(그 중 진근점 이각 $\theta$은 $\nu$로 표시되었다).

2체 문제의 방정식을 거리 벡터 $\overrightarrow{r}$와 외적하면 상대 비각운동량을 얻는다.

$\overrightarrow{r}\times \ddot{\overrightarrow{r}}=-\overrightarrow{r}\times \frac{\mu }{r^2}\frac{\overrightarrow{r}}{r}=-\frac{\mu }{r^3}(\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{r})$

벡터 자체와의 외적(우변)은 0이다. 왼쪽은 곱의 미분법에 따라 다음과 같이 단순화된다.

$\overrightarrow{r}\times \ddot{\overrightarrow{r}}=\dot{\overrightarrow{r}}\times \dot{\overrightarrow{r}}+\overrightarrow{r}\times \ddot{\overrightarrow{r}}=\frac{\mathrm{d}(\overrightarrow{r}\times \dot{\overrightarrow{r}})}{\mathrm{d}t}=0$

이는 $\overrightarrow{r}\times \dot{\overrightarrow{r}}$ 가 일정함을 의미한다(따라서 이는 보존량이다). 그리고 이는 정확히 위성의 비각운동량이다.

$\overrightarrow{h}=\overrightarrow{r}\times \dot{\overrightarrow{r}}\text{ is const.}$

이 벡터는 궤도 평면과 수직이며, 각운동량은 바뀌지 않으므로 궤도 평면도 바뀌지 않는다.

비행 경로 각도 $\varphi$의 정의와 그리고 속도 벡터의 횡단 및 반경 성분(오른쪽 그림 참조)을 통해 2체 문제에 대한 추가적인 통찰을 얻을 수 있다. 다음 세 공식으로도 상대 비각운동량 벡터의 절대값을 계산할 수 있다.

• $h=rv\cos \varphi$
• $h=r^2\dot{\theta }$
• $h=\sqrt{\mu p}$

이때 $p$는 곡선의 원뿔 곡선 이라고 부른다.

케플러의 행성 운동 법칙

케플러의 행성 운동 법칙은 위의 관계를 통해 거의 직접적으로 증명될 수 있다.

제1법칙

증명은 이체 문제의 방정식에서 시작된다. 이번에는 방정식에 상대 비각운동량을 외적한다.

$\ddot{\overrightarrow{r}}\times \overrightarrow{h}=-\frac{\mu }{r^2}\frac{\overrightarrow{r}}{r}\times \overrightarrow{h}$

좌변은 각운동량은 일정하기 때문에 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\dot{\overrightarrow{r}}\times \overrightarrow{h})$와 같다.

우변은 다음과 같이 정리할 수 있다:

$-\frac{\mu }{r^3}(\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{h})=-\frac{\mu }{r^3}((\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{v})\overrightarrow{r}-r^2\overrightarrow{v})=-(\frac{\mu }{r^2}\dot{r}\overrightarrow{r}-\frac{\mu }{r}\overrightarrow{v})=\mu \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\overrightarrow{r}}{r}\right)$

이 두 식을 동일하게 설정하고 시간이 지남에 따라 적분하면 다음과 같다(이때 적분 상수 $\overrightarrow{C}$또한 고려).

$\dot{\overrightarrow{r}}\times \overrightarrow{h}=\mu \frac{\overrightarrow{r}}{r}+\overrightarrow{C}$

이제 이 방정식에 $\overrightarrow{r}$을 내적하고 재배열하면 다음 식을 얻을 수 있다.

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{r}\cdot (\dot{\overrightarrow{r}}\times \overrightarrow{h})& =\overrightarrow{r}\cdot (\mu \frac{\overrightarrow{r}}{r}+\overrightarrow{C})\\ \Rightarrow (\overrightarrow{r}\times \dot{\overrightarrow{r}})\cdot \overrightarrow{h}& =\mu r+rC\cos \theta \\ \Rightarrow h^2& =\mu r+rC\cos \theta \end{array}$

마지막 식을 정리하면 궤도 방정식을 의미한다.

$r=\frac{\frac{h^2}{\mu }}{1+\frac{C}{\mu }\cos \theta }$

이것은 반통경(semi-latus rectum) $p=\frac{h^2}{\mu }$와 이심률 $e=\frac{C}{\mu }$일 때 극좌표계에서 원뿔 단면의 방정식이다. 이는 곧 케플러의 제1법칙과 같다.

제2법칙

두 번째 법칙은 상대 비각운동량의 절댓값을 계산하는 세 방정식 중 두 번째 방정식을 사용하면 즉시 도출된다.

두 번째 방정식에 의해 도출된 식 $\mathrm{d}t=\frac{r^2}{h}\mathrm{d}\theta$과 무한소의 각도에서 궤도 내부 영역을 나타내는 식인 $\mathrm{d}A=\frac{r^2}{2}\mathrm{d}\theta$을 다음과 같이 통합할 수 있다.

$\mathrm{d}t=\frac{2}{h}\mathrm{d}A$

위 식을 문장으로 풀어 쓰면 다음과 같다.

제3법칙

케플러 제3법칙은 두 번째 법칙에서 바로 유도된다. 위 식을 1회전에 걸쳐 적분하면 공전 주기를 얻을 수 있다.

$T=\frac{2\pi ab}{h}$

$\pi ab$는 타원의 면적이다. 단반경에 $b=\sqrt{ap}$를 대입하고, 상대 비각운동량에 $h=\sqrt{\mu p}$를 대입하면 다음 식을 얻을 수 있다.

$T=2\pi \sqrt{\frac{a^3}{\mu }}$

따라서 위성의 장반경과 공전 주기 사이 관계는 표준 중력 상수만 관여한다. 이는 케플러 제3법칙과 동일하다.

참고 문서

• 궤도 비에너지, 2체 문제에서 보존된 또 다른 양.
• 고전적인 중심력 문제#특정 각운동량

같이 보기

• 고유 궤도 에너지

각주

내용주

참조주

틀:전거 통제