환산 질량

틀:위키데이터 속성 추적 고전역학에서, 두 물체의 환산 질량(틀:Lang, 틀:Lang)은 두 물체의 질량의 조화 평균의 절반이다. 이체 문제의 풀이에 등장한다.

정의

서로 상호작용하는 두 점입자로 이루어진 계를 생각하자. 두 입자의 질량이 각각 $m_{1}$ 과 $m_{2}$ 라고 하면, 두 입자의 운동 방정식은 다음과 같다.

m_{1} {\ddot{𝐫}}_{1} = 𝐅_{12}

m_{2} {\ddot{𝐫}}_{2} = 𝐅_{21} = - 𝐅_{12}

.

따라서, 두 입자 사이의 거리 $𝐫 = 𝐫_{1} - 𝐫_{2}$ 를 기술하는 미분 방정식은 다음과 같다.

\frac{1}{1 / m_{1} + 1 / m_{2}} \ddot{𝐫} = 𝐅_{12}

.

이는 질량이

μ = \frac{1}{1 / m_{1} + 1 / m_{2}} = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}}

인 하나의 입자를 나타내는 운동 방정식으로 해석할 수 있다. 따라서, 원래의 이체 문제는 질량이 $μ$ 인 하나의 입자를 다루는 일체 문제와 동등하다. 여기서 $μ$ 를 원래 이체 문제의 환산 질량이라 한다.

성질

환산 질량 $μ$ 는 항상 $μ < m_{1}$ 과 $μ < m_{2}$ 를 만족한다. 또한, 만약 $m_{1} < m_{2}$ 라면 항상 $m_{1} < 2 μ < m_{2}$ 다. 이는 $2 μ$ 가 $m_{1}$ 과 $m_{2}$ 의 조화 평균이기 때문이다.

만약 한 물체가 다른 한 물체보다 매우 무겁다면, 두 물체의 환산 질량은 둘 가운데 더 가벼운 물체의 질량에 수렴한다. 즉, 만약 $m_{1} ≫ m_{2}$ 라면 $μ ≲ m_{2}$ 이고, 반대로 $m_{1} ≪ m_{2}$ 라면 $μ ≲ m_{1}$ 이다. 따라서, 예를 들어 지구와 태양을 고려할 경우 환산 질량은 지구의 질량에 매우 가깝고, 수소 원자에서 환산 질량은 전자의 질량에 매우 가깝다.

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조화 진동자

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