진근점 이각

진근점 이각(틀:Llang)은 천체물리학에서 케플러 궤도를 따라 움직이는 물체의 위치를 정하는 각 변수이다. 진근점 이각은 타원의 주초점에서 바라본 궤도 근점과 물체의 현재 위치 간의 각도이다.

진근점 이각은 보통 그리스 문자 틀:Mvar 또는 틀:Mvar, 또는 라틴 문자 틀:Mvar로 표시된다.

위의 그림에 보여지듯이, 진근점 이각 틀:Mvar는 편심 이각과 평균 근점 이각과 함께 궤도에서의 물체의 위치를 정하는 세 변수 중 하나이다.

공식

상태 벡터로부터

타원 궤도에서는 진근점 이각 틀:Mvar은 궤도 상태 벡터로부터 계산될 수 있다.

ν = \arccos \frac{𝐞 \cdot 𝐫}{| e | | r |}

(만약 틀:Nowrap 이라면 틀:Mvar를 틀:Nowrap)

v는 궤도를 도는 물체의 궤도 속도 벡터이다.
e는 편심 벡터이다.
r는 궤도 위치 벡터이다.

원 궤도

원 궤도의 경우에는 진근점 이각이 정의되지 않는데, 이는 원 궤도는 특정할 만한 궤도 근점이 없기 때문이다. 이 때는 진근점 이각 대신 위도 인수 u가 사용된다.

u = \arccos \frac{𝐧 \cdot 𝐫}{| n | | r |}

(만약 틀:Nowrap 이라면 틀:Nowrap)

n은 승교점을 향한 벡터를 말한다(즉 z 요소의 n 값은 0이다).

궤도 경사 0의 원 궤도

궤도 경사가 0인 원 궤도에서는 특정할 만한 궤도 교점이 없어 위도 인수 또한 정의되지 않는다. 따라서 이 때는 진 경도(true longitude)를 사용한다.

l = \arccos \frac{r_{x}}{| r |}

(만약 틀:Nowrap 이라면 틀:Mvar를 틀:Nowrap)

r_x는 궤도 위치 벡터 r의 x 요소이다.
v_x는 궤도 속도 벡터 v의 x 요소이다..

편심 이각으로부터

진근점 이각 틀:Mvar와 편심 이각 E 사이의 관계는 다음과 같다.

\cos ν = \frac{\cos E - e}{1 - e \cos E}

또는 사인과 탄젠트를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[1]

\sin ν = \frac{\sqrt{1 - e^{2}} \sin E}{1 - e \cos E}

\tan ν = \frac{\sin ν}{\cos ν} = \frac{\sqrt{1 - e^{2}} \sin E}{\cos E - e}

이는 아래의 식과 동등하다.

\tan \frac{ν}{2} = \sqrt{\frac{1 + e}{1 - e}} \tan \frac{E}{2} .

그러므로, 다음과 같이 나타난다.

ν = 2 a r g (\sqrt{1 - e} \cos \frac{E}{2}, \sqrt{1 + e} \sin \frac{E}{2})

arg(x, y)는 벡터 (x, y)의 극 성분이다(이는 대부분의 프로그램에 내장된 atan2(y, x) 또는 ArcTan[x, y]으로 계산할 수 있다).