분배 이음 반격자

틀:위키데이터 속성 추적 순서론에서 분배 이음 반격자(틀:Llang)와 분배 만남 반격자(틀:Llang)는 분배 격자의 반격자 일반화이다.

정의

이음 반격자 $(S,\vee )$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 이음 반격자를 분배 이음 반격자라고 한다.

• 임의의 $a,b,c\in S$에 대하여, 만약 $c\le a\vee b$라면, $c=a^{\prime }\vee b^{\prime }$인 $a^{\prime }\le a$ 및 $b^{\prime }\le b$가 존재한다.
• $S$의 순서 아이디얼들의 부분 순서 집합 $\mathrm{Ideal}(S)$은 분배 격자를 이룬다.틀:Rp

마찬가지로, 만남 반격자 $(S,\wedge )$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 이음 반격자를 분배 만남 반격자라고 한다.

• 임의의 $a,b,c\in S$에 대하여, 만약 $c\ge a\wedge b$라면, $c=a^{\prime }\wedge b^{\prime }$인 $a^{\prime }\ge a$ 및 $b^{\prime }\ge b$가 존재한다.
• $S$의 필터들의 부분 순서 집합 $\mathrm{Filter}(S)$은 분배 격자를 이룬다.

틀:증명 이음 반격자 $S$가 주어졌으며, $a,b,c\in S$에 대하여, 만약 $c\le a\vee b$라면, $c=a^{\prime }\vee b^{\prime }$인 $a^{\prime }\le a$ 및 $b^{\prime }\le b$가 존재한다고 하자. 모든 이음 반격자의 순서 아이디얼 집합은 이음 반격자를 이룬다. 가정한 조건에 따라, $S$가 하향 집합을 이루므로, 두 순서 아이디얼의 교집합은 공집합이 아니다. 따라서, $\mathrm{Ideal}(S)$는 격자를 이룬다. 이제, $\mathrm{Ideal}(S)$가 분배 격자임을 보이려면, 임의의 세 순서 아이디얼 $I,J,K\in \mathrm{Ideal}(S)$에 대하여, $I\vee (J\wedge K)=(I\vee J)\wedge (I\vee K)$임을 보이면 족하다. $\le$는 모든 격자 위에서 성립한다. 이제 임의의 $a\in (I\vee J)\wedge (I\vee K)$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가정에 따라

$a=i\vee j=i^{\prime }\vee k$

인 $i,i^{\prime }\in I$ 및 $j\in J$ 및 $k\in K$가 존재한다. $j\le i\vee j=i^{\prime }\vee k$이므로, $j=i^{″}\vee k^{\prime }$인 $i^{″}\le i^{\prime }$ 및 $k^{\prime }\le k$가 존재한다. 이 경우 $i^{″}\in I$이며, $k^{\prime }\le i^{″}\vee k^{\prime }=j$이므로 $k^{\prime }\in J\wedge K$이다. 따라서,

$a=i\vee j=i\vee (i^{″}\vee k^{\prime })=(i\vee i^{″})\vee k^{\prime }\in I\vee (J\wedge K)$

이다.

반대로, 이음 반격자 $S$에 대하여, $\mathrm{Ideal}(S)$가 격자이며, 또한 분배 격자라고 하자. 또한, $a,b,c\in S$이며, $c\le a\vee b$라고 하자. 주 순서 아이디얼 $\downarrow a,\downarrow b,\downarrow c\in \mathrm{Ideal}(S)$을 생각하자. 분배 법칙에 따라,

$\downarrow c=\downarrow c\wedge \downarrow (a\vee b)=\downarrow c\wedge (\downarrow a\vee \downarrow b)=(\downarrow c\wedge \downarrow a)\vee (\downarrow c\wedge \downarrow b)$

이다. 특히,

$c\le a^{\prime }\vee b^{\prime }$

인 $a^{\prime }\in \downarrow c\wedge \downarrow a$ 및 $b^{\prime }\in \downarrow c\wedge \downarrow b$가 존재한다. $a^{\prime },b^{\prime }\le c$이므로, $c\le a^{\prime }\vee b^{\prime }$이다. 틀:증명 끝

성질

모든 분배 이음 반격자는 (공집합이 아니라면) 하향 집합이다. 모든 분배 만남 반격자는 (공집합이 아니라면) 상향 집합이다.틀:Rp 틀:증명 분배 이음 반격자 $S$ 및 임의의 원소 $a,b\in S$가 주어졌다고 하자. $a\le a\vee b$이므로, $a=a^{\prime }\vee b^{\prime }$인 $a^{\prime }\le a$ 및 $b^{\prime }\le b$가 존재한다. 또한, $b^{\prime }\le a^{\prime }\vee b^{\prime }=a$이다. 따라서 $b^{\prime }$은 $a$와 $b$의 하계이다. 틀:증명 끝

분배 격자와 달리, 분배 (이음/만남) 반격자의 모임은 (부분 대수에 대하여 닫혀 있지 않으므로) 대수 구조 다양체를 이루지 않는다. 사실, 반격자들로 구성된 대수 구조 다양체는 분배 격자를 반격자에 대하여 일반화할 수 없다 (즉, 격자의 경우에 분배 격자와 일치할 수 없다).

예

격자 $(L,\vee ,\wedge )$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• 이음 반격자 $(L,\vee )$는 분배 이음 반격자이다.
• 만남 반격자 $(L,\wedge )$는 분배 만남 반격자이다.
• 격자 $(L,\vee ,\wedge )$는 분배 격자이다.

틀:증명 분배 격자 $(L,\vee ,\wedge )$ 및 $a,b,c\in L$이 주어졌으며, $c\le a\vee b$라고 하자. 그렇다면, 분배 법칙에 따라

$c=c\wedge (a\vee b)=(c\wedge a)\vee (c\wedge b)$

$c\wedge a\le a$

$c\wedge b\le b$

이다. 따라서 $(L,\vee )$는 분배 이음 반격자이다.

이제, 격자 $(L,\vee ,\wedge )$가 분배 격자가 아니라고 하자. 그렇다면, $L$은 오각형 부분 격자

$\{m,a,b,c,n\}$

$m\le a\le b\le n$

$m\le c\le n$

또는 다이아몬드 부분 격자

$\{m,a,b,c,n\}$

$m\le a,b,c\le n$

를 갖는다. 이 경우,

$b\le n=a\vee c$

이지만,

$b=a^{\prime }\vee c^{\prime }$

$a^{\prime }\le a$

$c^{\prime }\le c$

인 $a^{\prime },c^{\prime }\in L$을 찾을 수 없다. (만약 이러한 $a^{\prime },c^{\prime }\in L$이 존재한다면,

$b=a^{\prime }\vee c^{\prime }\le a\vee (c\wedge (a^{\prime }\vee c^{\prime }))=a\vee (c\wedge b)=a\vee m=a$

이므로 모순이다.) 따라서, $(L,\vee )$는 분배 이음 반격자가 아니다. 틀:증명 끝