부분정규 부분군

틀:위키데이터 속성 추적 군론에서 부분정규 부분군(部分正規部分群, 틀:Llang)은 정규 부분군을 거듭하여 취하여 얻을 수 있는 부분군이다.

정의

군 $G$의 부분군 $H\le G$에 대하여,

$H=H_0⊲H_1⊲H_2⊲\cdots ⊲H_n=G$

인 $G$의 부분군의 열 $(H_0,H_1,\dots ,H_n)$이 존재한다면, $H$를 $G$의 부분정규 부분군이라고 한다. 이는

$H⊲⊲G$

로 표기한다.

성질

부분정규 부분군 관계는 자명하게 추이적이다. (반면, 정규 부분군의 정규 부분군은 정규 부분군이 아닐 수 있다.) 유한 개의 부분정규 부분군의 교집합은 부분정규 부분군이다. 군 $G$의 부분정규 부분군들의 (포함 관계에 따른) 부분 순서 집합이 오름 사슬 조건을 만족시킨다면 (예컨대 유한군이나 뇌터 군은 이를 만족한다), $G$의 유한 개의 부분정규 부분군 $H_1,\dots ,H_n⊲⊲G$을 포함하는 최소의 부분군 $⟨H_1\cup \cdots \cup H_n⟩⊲⊲G$은 부분정규 부분군이다.

유한군 $G$ 및 부분군 $H\le G$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $H$는 $G$의 부분정규 부분군이다.
• (케겔-빌란트 추측, 틀:Llang) 임의의 소수 $p$ 및 $G$의 쉴로브 $p$-부분군 $S$에 대하여, $H\cap S$는 $H$의 쉴로브 $p$-부분군이다.
• 임의의 부분군 $K\le G$에 대하여, 집합 $HK=\{hk:h\in H,k\in K\}$의 크기는 $G$의 크기를 나눈다.

역사

케겔-빌란트 추측은 1991년 피터 브라운 클라이드먼(틀:Llang)이 증명하였다. 클라이드먼의 증명은 유한 단순군의 분류와 부분군 구조를 사용한다.

같이 보기

• 특성 부분군

외부 링크

• 틀:Groupprops