복소함수

틀:위키데이터 속성 추적 수학에서 복소 함수(複素函數, 틀:Llang)는 정의역과 공역의 원소가 모두 복소수인 함수이다.

정의

복소 함수는 $f:ℂ\to ℂ$ 꼴의 함수이다. 그 대응 규칙은 다음과 같다.

$f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$

여기서 $u,v:{ℝ}^2\to ℝ$이다.

예

복소 함수에는 복소 지수 함수, 복소 삼각 함수, 복소로그 함수 등이 있다.

복소 지수함수

복소 지수 함수는 다음과 같이 표현되는 복소 함수이다.

$e^z=e^x(\cos y+i\sin y)$

다음과 같은 성질을 갖는다.

$e^{iy}=\cos y+i\sin y$ (오일러 공식)

이며, $z=r{e}^{i\theta }$는

$e^{2\pi i}=1$

로 나타낼 수 있다.

또한

$e^{z+2\pi i}=e^z$

이므로, $w=e^z$가 가질 수 있는 값은 폭 $2\pi$인 수평띠

$-\pi <y\le \pi$

안에 있게 되는데, 이 무한 띠를 $e^z$의 기본영역(fundamental region)이라 부른다.

복소 삼각함수

$\cos z=\frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz}),\sin z=\frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})$

실삼각함수에 대한 모든 익숙한 공식은 복소값에 대해서도 성립한다.

$\begin{array}{cc}& \cos (z_1\pm z_2)=\cos z_1\cos z_2\mp \sin z_1\sin z_2\\ & \sin (z_1\pm z_2)=\sin z_1\cos z_2\pm \sin z_2\cos z_1\\ \end{array}$

복소 쌍곡선함수

$\cosh z=\frac{1}{2}(e^z+e^{-z}),\sinh z=\frac{1}{2}(e^z-e^{-z})$

복소 삼각함수와 쌍곡선함수의 관계

복소쌍곡선함수와 삼각함수의 관계는 다음과 같다.

$\cosh iz=\cos z,\sinh iz=i\sin z,\tanh iz=i\tan z$

복소삼각함수와 쌍곡선함수의 관계는 다음과 같다.

$\cos iz=\cosh z,\sin iz=i\sinh z,\tan iz=i\tanh z$

복소 로그함수

$z=x+iy$의 자연로그(natural logarithm)는 $\ln z$로 표시하고 지수함수의 역함수로 정의한다.

$\begin{array}{cc}& \ln z=\ln r+i\theta \\ & (r=\left|z\right|>0,\theta =\arg z)\\ \end{array}$

이때, 실미적분학과 다른 점을 발견할 수 있다. $z$의 편각은 $2\pi$의 임의의 정수배를 더한 값들로 결정되므로, 복소자연로그 $\ln z(z\ne 0)$는 무한히 많은 값을 갖는다. $\mathrm{Arg}z$에 상응하는 $\ln z$의 값을 $\mathrm{Ln}z$로 표기하고, $\ln z$의 주값(principal value)이라 부른다. 따라서,

$\mathrm{Ln}z=\ln \left|z\right|+i\mathrm{Arg}z$

이다. $\mathrm{Arg}z$의 다른 값들은 $2\pi$의 정수배만큼 다르므로 $\ln z$의 다른 값들은

$\ln z=\mathrm{Ln}z\pm 2n\pi i$

이 된다.

일반 거듭제곱

복소수 $z=x+iy$의 일반 거듭제곱 공식

$z^c=e^{c\ln z}$

로 정의된다.