보흐너 적분

틀:위키데이터 속성 추적 함수해석학에서 보흐너 적분(Bochner積分, 틀:Llang)은 바나흐 공간 값의 함수에 대하여 정의되는, 르베그 적분의 일반화이다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• $𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$
• $𝕂$-바나흐 공간 $(V,\Vert {\Vert }_V)$
• 측도 공간 $(X,𝒮,\mu )$

그렇다면, $X\to V$ 단순 함수는 다음과 같은 꼴의 함수 $f:X\to V$이다.

$f=\sum _{i=1}^k{v}_i{\chi }_{S_i}$

$v_1,\dots ,v_k\in V$

$S_1,\dots ,S_k\in 𝒮$

$k\in \mathbb{N}$

(여기서 $\chi$는 지시 함수이다.)

단순 함수의 보흐너 적분은 다음과 같다.

$\underset{X}{\int }\left(\sum _{i=1}^k{v}_i{\chi }_{S_i}\right)\mathrm{d}\mu =\sum _{i=1}^k{v}_i\mu (S_i)\in V$

임의의 함수 $f:X\to V$에 대하여, 만약 (다음 좌변이 존재하며) 다음 등식이 성립하는 단순 함수열 $(f_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$이 존재한다면, $f$를 보흐너 적분 가능 함수라고 한다.

$\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }\Vert f-f_i{\Vert }_V\mathrm{d}\mu =0$

여기서 좌변의 적분은 실수 값의 르베그 적분이다.

이 경우, 보흐너 적분 가능 함수 $f$의 보흐너 적분은 다음과 같다.

$\underset{X}{\int }f\mathrm{d}\mu =\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }{f}_i\mathrm{d}\mu$

여기서 우변의 극한은 노름 거리 위상에 대한 것이다.

보흐너 공간

$X\to V$ 보흐너 적분 가능 함수들의 $𝕂$-벡터 공간을 ${ℒ}^1(X;V)$라고 하자. 그 위에 반노름

$\Vert f\Vert =\underset{X}{\int }\Vert f{\Vert }_V\mathrm{d}\mu$

을 줄 수 있다. 이 반노름이 0인 원소들의 부분 벡터 공간에 대한 몫

${\mathrm{L}}^1(X;V)=\frac{{ℒ}^1(X;V)}{\{f\in {ℒ}^1(X;V):\mu (\{x\in X:f(x)\ne 0\})=0\}}$

을 1-보흐너 공간(틀:Llang)이라고 한다.

예

만약 $V=𝕂$일 경우, $V$값의 보흐너 적분은 르베그 적분과 같다.

역사

잘로몬 보흐너가 도입하였다.

외부 링크

• 틀:Eom