백하우스 상수

백하우스 상수(Backhouse's constant)는 나이젤 백하우스(Nigel Backhouse)의 이름을 딴 수학 상수다.

정의

백하우스 상수를 정의하기 위해서는 우선 연속항의 계수가 소수(prime number)인 멱급수(power series) $P (x)$ 를 정의한다.

P (x) = 1 + \sum_{k = 1}^{\infty} p_{k} x^{k} = 1 + 2 x + 3 x^{2} + 5 x^{3} + 7 x^{4} + \dots

그 다음 $P (x)$ 의 역수를 형식적 멱급수로 표현한다.

Q (x) = \frac{1}{P (x)} = \sum_{k = 0}^{\infty} q_{k} x^{k}

그러면 $Q (x)$ 의 계수들 사이에 다음 식이 성립한다.

\lim_{k \to \infty} | \frac{q_{k + 1}}{q_{k}} | = 1.45607 \dots

위의 극한값은 백하우스(Backhouse, 1995)에 의해 존재할 것으로 추측되었으며, 이 추측은 필립 플라졸렛(Philippe Flajolet, 1995)에 의해 증명되었다.