미분법

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미분의 기본 공식

이 문단에선 라그랑주의 표기법이 사용되었다.

$f$와 $g$를 미분 가능한 함수라 하면

• (선형성)

$\left(cf\right)=c{f}^{\prime }$ ($c$는 상수)

$\left(f+g\right)=f^{\prime }+g^{\prime }$

$\left(f-g\right)=f^{\prime }-g^{\prime }$

• (곱의 법칙)

$\left(fg\right)=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$

• (연쇄 법칙)

$(f\circ g{)}^{\prime }=(f^{\prime }\circ g)g^{\prime }$

확장된 미분의 기본 공식

조금 더 넓게 다음까지도 기본 공식으로 취급하기도 한다.

• (역수 법칙)

$\left(\frac{1}{f}\right)=-\frac{f^{\prime }}{f^2}$

• (몫의 법칙)

$\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$  (단, $g\ne 0$)

• (역함수 법칙)

$f(g(y))=y$ 라 하면

$g^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }\circ f^{-1}}$

다항 함수의 미분

$\frac{d}{dx}c=0$

$\frac{d}{dx}x=1$

$\frac{d}{dx}|x|=\frac{x}{|x|}=\mathrm{sgn}x,x\ne 0$

$\frac{d}{dx}{x}^c=c{x}^{c-1}$

$\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^2}$

지수함수와 로그 함수의 미분

$\frac{d}{dx}{a}^{f(x)}=a^{f(x)}{f}^{\prime }(x)\ln a,a>0$

$\frac{d}{dx}{c}^x=c^x\ln c,c>0$

$\frac{d}{dx}{e}^x=e^x$

$\frac{d}{dx}{\log }_{c}x=\frac{1}{x\ln c},c>0,c\ne 1$

$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$

삼각함수의 미분

$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$

$\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$

$\frac{d}{dx}\tan x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x$

$\frac{d}{dx}\csc x=-\frac{1}{\tan x\sin x}=-\cot x\csc x$

$\frac{d}{dx}\sec x=\tan x\sec x$

$\frac{d}{dx}\cot x=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}=-{\csc }^{2}x$

$\frac{d}{dx}{\sin }^{-1}x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{d}{dx}{\cos }^{-1}x=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{d}{dx}{\tan }^{-1}x=\frac{1}{1+x^2}$

$\frac{d}{dx}{\csc }^{-1}x=\frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

$\frac{d}{dx}{\sec }^{-1}x=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

$\frac{d}{dx}{\cot }^{-1}x=\frac{-1}{1+x^2}$

쌍곡선 함수의 미분

$\frac{d}{dx}\sinh x=\cosh x$

$\frac{d}{dx}\cosh x=\sinh x$

$\frac{d}{dx}\tanh x={\text{sech}}^{2}x$

$\frac{d}{dx}\text{csch}x=-\text{coth}x\text{csch}x$

$\frac{d}{dx}\text{sech}x=-\tanh x\text{sech}x$

$\frac{d}{dx}\text{coth}x=-{\text{csch}}^{2}x$

$\frac{d}{dx}{\sinh }^{-1}x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

$\frac{d}{dx}{\cosh }^{-1}x=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

$\frac{d}{dx}{\tanh }^{-1}x=\frac{1}{1-x^2}$

$\frac{d}{dx}{\text{csch}}^{-1}x=\frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$

$\frac{d}{dx}{\text{sech}}^{-1}x=\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{d}{dx}{\text{coth}}^{-1}x=\frac{1}{1-x^2}$

같이 보기

• 적분표