모듈러 자기 동형

틀:위키데이터 속성 추적 함수해석학에서 모듈러 자기 동형(modular自己同型, 틀:Llang)은 힐베르트 공간의 한 단위 벡터로 정의되는, 폰 노이만 대수의 특별한 자기 동형이다. 이를 사용하여 인자 대수 및 폰 노이만 대수를 분류할 수 있다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 복소수 힐베르트 공간 $H$
• $H$ 위에 작용하는 폰 노이만 대수 $𝒜\subseteq \mathrm{B}(H,H)$
• 다음 두 조건을 만족시키는 단위 벡터 $|v⟩\in H$
  • $𝒜|v⟩$는 $H$의 조밀 집합이다.
  • $𝒜\to H$, $A\mapsto A|v⟩$는 단사 함수이다.

이제, 다음과 같은 실수 선형 변환을 정의하자.

$S:D\to H$

$SA|v⟩=A^{*}|v⟩\mathrm{\forall }A\in 𝒜,|v⟩\in A^{-1}(D)$

이는 복소수 반선형 변환이다.

$S|\alpha u⟩=\overline{\alpha }S|u⟩\mathrm{\forall }|u⟩\in D,\alpha \in ℂ$

정의역 $D\subseteq H$는 $H$의 조밀 집합이다.

$S$의 극분해(틀:Llang)가 다음과 같다고 하자.

$S=J{\mathrm{\Delta }}^{1/2}=D^{-1/2}J$

$J^2=1$, $J=J^{*}$

여기서 스펙트럼 이론을 사용하여, 모든 실수 $t\in ℝ$에 대하여 ${\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{i}t}$를 정의할 수 있다.

도미타 정리(틀:Llang)에 따르면, 다음이 성립한다.

$J|v⟩=|v⟩=\mathrm{\Delta }|v⟩$

$J𝒜J={\mathrm{C}}_{\mathrm{B}(H,H)}(𝒜)$

${\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{i}t}𝒜{\mathrm{\Delta }}^{-\mathrm{i}t}=𝒜\mathrm{\forall }t\in ℝ$

여기서 ${\mathrm{C}}_{\mathrm{B}(H,H)}(-)$는 $\mathrm{B}(H,H)$에서 취한 중심화 부분환이다. 이에 따라,

${\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{i}t}(-){\mathrm{\Delta }}^{-\mathrm{i}t}:𝒜\to 𝒜$

$A\mapsto {\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{i}t}A{\mathrm{\Delta }}^{-\mathrm{i}t}$

는 $𝒜$의 자기 동형을 이룬다. 이를 $|v⟩$에 대응하는 모듈러 자기 동형(틀:Llang)이라고 한다.

콘 모듈러 군

임의의 대합환 $(A{,}^{*})$가 주어졌을 때, 임의의 유니터리 원소 $u\in \mathrm{U}(A)$ (즉, $u{u}^{*}=u^{*}u=1$인 원소)에 대하여

$A\mapsto A$

$a\mapsto ua{u}^{*}$

는 $A$의 자기 동형을 이룬다. 이는 군 준동형

$\mathrm{U}(A)\to \mathrm{Aut}(A)$

를 정의하며, 따라서 외부 자기 동형군(틀:Llang)

$\mathrm{Out}(A)=\mathrm{Aut}(A)/\mathrm{U}(A)$

을 정의할 수 있다.

폰 노이만 대수 $𝒜$ 및 위 조건을 만족시키는 두 단위 벡터 $|v⟩,|v^{\prime }⟩\in H$에 대하여, 각각 모듈러 자기 동형을 정의할 수 있다.

${\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{i}t}(-){\mathrm{\Delta }}^{-\mathrm{i}t}:A\to A$

$\mathrm{\Delta }{\text{'}}^{\mathrm{i}t}(-)\mathrm{\Delta }{\text{'}}^{-\mathrm{i}t}:A\to A$

이 둘은 일반적으로 서로 다르지만, 같은 외부 자기 동형류를 정의한다. 즉, 이들이 정의하는 군 준동형

$\delta :(ℝ,+)\to \mathrm{Out}(A)$

은 서로 일치한다. 이 군 준동형의 상을 콘 모듈러 군(틀:Llang)이라고 하며, 이는 선택한 단위 벡터에 의존하지 않는, 폰 노이만 대수 고유의 불변량이다.

성질

콘 준동형을 사용하여 폰 노이만 대수를 분류할 수 있다. 구체적으로, 폰 노이만 대수 $A$의 콘 준동형 $\delta :ℝ\to \mathrm{Out}(A)$를 생각하자. 그 핵 $\ker \delta$는 $(ℝ,+)$의 부분군이다. 만약 $A$가 인자 대수라면, 다음이 성립한다.

콘 준동형의 핵 $\ker \delta$	인자 대수 $A$의 분류
$ℝ$	I종 인자 대수 또는 II종 인자 대수
$ℝ$의 조밀 집합 (그러나 $ℝ$ 전체가 아님)	III0종 인자 대수
무한 순환군 $t\mathbb{Z}$, $t\in {ℝ}^{+}$	IIIa종 인자 대수 ($a=\exp (-2\pi /t)$)
자명군 $\{0\}$	III1종 인자 대수

역사

도미타-다케사키 이론은 도미타 미노루(틀:Llang, 1924~2015)가 1967년에 도입하였다. 그러나 도미타의 논문은 매우 난해하여 별로 주목받지 못했다. 이후 다케사키 마사미치(틀:Llang, 1933~)가 1970년에 도미타의 이론을 개량하여 출판하였으며, 이후 학계에서 주목받게 되었다.

이후 알랭 콘이 콘 모듈러 군을 정의하였다.

참고 문헌

• 틀:서적 인용
• 틀:웹 인용
• 틀:저널 인용

외부 링크

• 틀:Eom