매개계

틀:위키데이터 속성 추적 가환대수학에서, 매개계(媒介界, 틀:Llang, 약자 틀:Llang)는 국소 가환환 위의 ‘국소 좌표계’의 일종이다.틀:Rp틀:Rp 구체적으로, 매개계는 국소 가환환의 유일한 극대 아이디얼의 (충분히 큰 차수의) 거듭제곱을 생성하는 유한 부분 집합이며, 그 크기는 국소 가환환의 크룰 차원과 같다. 이 정의에서 극대 아이디얼 대신 그 거듭제곱을 생각하는 이유는 국소 가환환이 특이점의 근방을 나타내는 경우일 수 있기 때문이며, 정칙 국소환의 경우 극대 아이디얼 자체를 생성하는 매개계가 존재한다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 뇌터 국소 가환환 $(R,𝔪)$
• $R$-유한 생성 가군 $M$. 그 크룰 차원을 ${\dim }_{R}M=d$라고 하자.

이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $\mathrm{length}M<\mathrm{\infty }$
• 충분히 큰 양의 정수 $N$에 대하여, ${𝔪}^{N}M=0$이다.

여기서 $\mathrm{length}(-)$는 가군의 길이이다.

그렇다면, 임의의 유한 집합인 부분 집합 $S\subseteq R$에 대하여, 만약

$\mathrm{length}\frac{M}{SM}<\mathrm{\infty }$

이 된다면 $|S|\ge d$가 된다. 이를 포화시키는 부분 집합, 즉

$|S|=d$

$\mathrm{length}\frac{M}{SM}<\mathrm{\infty }$ (즉, $\mathrm{\exists }N\in {\mathbb{Z}}^{+}:{𝔪}^{N}M\subseteq SM$)

인 부분 집합 $S\subseteq R$를 $M$의 매개계라고 한다.

특히, $M=R$인 경우를 생각하자. 즉, 임의의 유한 집합인 부분 집합 $S\subseteq R$에 대하여, 만약

$\mathrm{length}M(S)<\mathrm{\infty }$ (즉, $\mathrm{\exists }N\in {\mathbb{Z}}^{+}:{𝔪}^N\subseteq S$)

라면,

$|S|\ge d$

이다. 이를 포화시키는 부분 집합, 즉

$|S|=d$

$\mathrm{\exists }N\in {\mathbb{Z}}^{+}:\mathrm{\exists }N\in {\mathbb{Z}}^{+}:{𝔪}^N\subseteq S$

인 부분 집합 $S$를 $R$의 매개계라고 한다. 위 조건에서 만약 $N=1$으로 놓을 수 있다면, $S$를 정칙 매개계(正則媒介界, 틀:Llang)라고 한다.

성질

뇌터 국소 가환환에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 정칙 국소환이다.
• 정칙 매개계를 갖는다.

뇌터 국소 가환환 $(R,𝔪)$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.틀:Rp

• 코언-매콜리 국소환이다.
• 모든 매개계가 정칙열이다.
• 적어도 하나 이상의 매개계가 정칙열이다.

정칙 국소환

$d$차원 정칙 국소환 $(R,𝔪,\kappa =R/𝔪)$의 부분 집합 $S\subseteq 𝔪$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.틀:Rp

• $S\subseteq S^{\prime }$인 정칙 매개계 $S^{\prime }\subseteq R$가 존재한다.
• $R/(S)$는 $d-|S|$차원 정칙 국소환이다.
• $\{s+{𝔪}^2:s\in S\}\subseteq 𝔪/{𝔪}^2$는 $\kappa$-벡터 공간인 자리스키 공변접공간 $𝔪/{𝔪}^2$ 속에서 선형 독립이다.

독립성

$d$차원 정칙 국소환 $(R,𝔪,\kappa =R/𝔪)$의 매개계 $(r_1,\dots ,r_d)$가 주어졌다고 하자. 임의의 $R$계수 $k$차 동차 다항식

$p\in R[x_1,\dots ,x_d]$

에 대하여, 만약

$p(r_1,\dots ,r_d)=0$

이라면, $p$의 모든 계수는 $𝔪$에 속한다.틀:Rp (즉, $p$의 $\kappa [x_1,\dots ,x_d]$ 속의 상이 0이다.)

예

아르틴(즉, 0차원) 국소 가환환 $(R,𝔪)$의 경우, 매개계는 공집합이다. 이 경우 극대 아이디얼 $𝔪$은 멱영 아이디얼이다. (예를 들어, 소수 $p$에 대하여 국소 가환환 $R=\mathbb{Z}/(p^d)$가 이에 해당한다.) 이 경우, $R$가 정칙 국소환인지 여부는 $R$가 체인지 여부와 동치이다. (체의 경우 $𝔪=(0)$이므로, 공집합이 정칙 매개계를 이룬다.)

체 $K$ 위의 아핀 평면 $K[x,y]$의 원점에서의 국소환 $K[x,y{]}_{(x,y)}$을 생각하자. 이는 2차원 정칙 국소환이다. 이 경우

$\{x,y\}\subset K[x,y{]}_{(x,y)}$

는 정칙 매개계이다. 보다 일반적으로, 임의의

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in \mathrm{GL}(2;K)$

에 대하여

$\{ax+cy,bx+dy\}$

역시 정칙 매개계이다.

반면,

$\{x,y^2-x\}\subset K[x,y{]}_{(x,y)}$

는 정칙 매개계가 아닌 매개계이다.틀:Rp 이 경우

$𝔪=(x,y)\subseteq ̸(x,y^2-x)$

${𝔪}^2=(x^2,xy,y^2)⊊(x,y^2-x)$

이다.

정수환의 소수 $p$에서의 국소화 ${\mathbb{Z}}_{(p)}$를 생각하자. 이는 1차원 국소 가환환이며, 그 극대 아이디얼은 $p$로 생성되는 주 아이디얼이다. 따라서 $\{p\}$는 정칙 매개계를 이룬다. 보다 일반적으로, $p$와 서로소인 임의의 0이 아닌 정수 $a$에 대하여 $\{ap\}$는 ${\mathbb{Z}}_{(p)}$의 정칙 매개계이다. 또한, 2 이상의 양의 정수 $k$에 대하여 $\{a{p}^k\}$는 ${\mathbb{Z}}_{(p)}$의 정칙 매개계이지만, 이는 매개계가 아니다.

역사

국소환의 개념을 볼프강 크룰이 1938년에 도입한 뒤, 이미 1943년에 클로드 슈발레가 매개계의 개념을 사용하였다.틀:Rp

매개계의 개념에 대하여 데이비드 아이젠버드는 다음과 같이 적었다. 틀:인용문2

외부 링크

• 틀:Eom